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ERSTES KAPITEL

VOM SINN DER ZAHLEN

Es ist zunächst notwendig, einige hier in einem strengen und teilweise neuen Sinne gebrauchte Grundbegriffe zu bestimmen, deren metaphysischer Gehalt sich im Laufe der Darstellung von selbst ergeben wird, die aber schon am Anfang unzweideutig erklärt sein müssen.

Der volkstümliche, auch der Philosophie geläufige Unterschied von Sein und Werden erscheint ungeeignet, das Wesentliche des mit ihm bezweckten Gegensatzes wirklich zu treffen. Ein unendliches Werden -- Wirken, „Wirklichkeit“ -- wird man immer, wofür etwa die physikalischen Begriffe der gleichförmigen Geschwindigkeit und des Bewegungszustandes oder die Grundvorstellung der kinetischen Gastheorie als Beispiele dienen können, auch als Zustand auffassen und also dem Sein zuordnen dürfen. Dagegen lassen sich -- mit Goethe -- als letzte Elemente des in und mit dem Bewußtsein schlechthin Gegebenen das +Werden+ und das +Gewordne+ unterscheiden. Jedenfalls ist, wenn man an der Möglichkeit zweifelt, durch abstrakte Begriffsbildungen den letzten Gründen des Menschlichen nahe zu kommen, das sehr klare und bestimmte +Gefühl+, aus welchem dieser fundamentale, die äußersten Grenzen des Bewußtseins berührende Gegensatz hervorgeht, das ursprünglichste Etwas, bis zu dem sich überhaupt gelangen läßt.

Es folgt daraus mit Notwendigkeit, daß immer ein Werden dem Gewordnen zugrunde liegt -- a priori im Sinne Kants --, nicht umgekehrt.

Ich unterscheide ferner mit den Bezeichnungen „+das Eigne+“ und „+das Fremde+“ zwei Urtatsachen des Bewußtseins, deren Sinn für jeden wachen Menschen -- also nicht für den Träumenden -- mit unmittelbarer innerer Gewißheit feststeht, ohne durch eine Definition näher bestimmt werden zu können. Zu der durch das Wort +Sinnlichkeit+ (Außenwelt, Empfindungsleben) bezeichneten ursprünglichen Tatsache steht das Element des Fremden immer auf irgendeine Weise in Beziehung. Die philosophische Gestaltungskraft großer Denker hat durch halbanschauliche schematische Konzeptionen wie Erscheinung und Ding an sich, Welt als Wille und Vorstellung, Ich und Nicht-Ich diese Beziehung immer wieder schärfer zu fassen versucht, obwohl diese Absicht sicherlich die Möglichkeiten exakter menschlicher Erkenntnis überschreitet. Ebenso birgt sich in der als Ich (Innenleben, Person) bezeichneten ursprünglichen Tatsache das Element des Eignen in einer Weise, deren strenge Fassung den Methoden des abstrakten Denkens ebenfalls entzogen bleibt.

Ich bezeichne weiterhin mit den Worten +Seele+ und +Welt+ denjenigen Gegensatz, +dessen Vorhandensein mit der Tatsache des wachen, rein menschlichen Bewußtseins selbst identisch ist+. Es gibt Grade der Klarheit und Schärfe dieses Gegensatzes, Grade der Bewußtheit -- Geistigkeit -- des Lebens also, von dem sich noch kaum in Pole sondernden mythischen Dämmern der primitiven Menschen und des Kindes -- hierher gehören die in Spätzeiten immer seltener werdenden Augenblicke der religiösen und künstlerischen Inspiration -- bis zur äußersten Schärfe des Wachseins etwa in den Zuständen des kantischen und des napoleonischen Denkens. Diese +elementare Struktur+ des Bewußtseins ist als eine Tatsache von unmittelbarer innerer Gewißheit der begrifflichen Zergliederung nicht weiter zugänglich, und ebenso gewiß ist es, daß jene beiden nur sprachlich und gewissermaßen künstlich abteilbaren Momente stets miteinander und durcheinander da sind und durchaus als Einheit, als Totalität hervortreten, ohne daß das erkenntniskritische Vorurteil des geborenen Idealisten und Realisten, wonach entweder die Seele der Welt oder die Welt der Seele als das Primäre -- sie sagen „als Ursache“ -- zugrunde liegt, in der reinen Tatsache des Bewußtseins irgendwie begründet wäre. Ob in einem philosophischen System der Akzent auf dem einen oder andern liegt, ist lediglich ein Kennzeichen der Persönlichkeit und von rein biographischer Bedeutung.

Gibt man den Begriffen des Werdens und des Gewordnen eine Anwendung auf diese polare Struktur des Bewußtseins, so erhält das Wort +Leben+ einen ganz bestimmten, dem des Werdens nahe verwandten Sinn. Man darf Werden und Gewordnes als die Tatsache und den Gegenstand des Lebens bezeichnen. Das eigne, fortschreitende, ständig sich erfüllende Leben ist in jedem seiner Augenblicke mit dem eignen, wachen Bewußtsein identisch[25] -- +diese Tatsache heißt Gegenwart+ -- und beide besitzen wie alles Werden das geheimnisvolle +Merkmal der Richtung+, ein unaussprechliches Gefühl (Lebensgefühl), das der Mensch in allen höhern Sprachen durch das Wort +Zeit+ und die daran sich knüpfenden Probleme geistig zu bannen und -- vergeblich -- zu deuten versucht hat. Es folgt daraus eine tiefe Beziehung des +Gewordnen (Starren) zum Tode+.

Nennt man die Seele -- und zwar unter Betonung des Unbewußten vor dem Bewußten -- das +Mögliche+, die Welt dagegen das +Wirkliche+, Ausdrücke, über deren Bedeutung ein inneres Gefühl keinen Zweifel läßt, so erscheint das Leben als +die Gestalt, in welcher sich die Verwirklichung des Möglichen vollzieht+. Im Hinblick auf das Merkmal der Richtung heißt das Mögliche +Zukunft+, das Verwirklichte +Vergangenheit+. Die Verwirklichung selbst, die Mitte und den Sinn des Lebens, nennen wir +Gegenwart+. „Seele“ ist das zu Vollendende, „Welt“ das Vollendete, „Leben“ die Vollendung. Die Ausdrücke Augenblick, Dauer, Entwicklung, Lebensinhalt, Lebensaufgabe, Bestimmung, Umfang, Ziel, Ende, Fülle und Leere des Lebens erhalten damit eine bestimmte, für alles Folgende, namentlich für das Verständnis historischer Phänomene wesentliche Bedeutung.

Endlich sollen die Worte +Geschichte+ und +Natur+, wie schon erwähnt, in einem ganz bestimmten, bisher nicht üblichen Sinne angewandt werden. Es sind darunter +mögliche+ Arten zu verstehen, die Gesamtheit des Bewußten, Werden +und+ Gewordnes, Leben und Erlebtes, in einem einheitlichen, durchgeistigten, wohlgeordneten +Weltbilde+ (Kosmos, Universum, All) aufzufassen, je nachdem das Werden oder das Gewordne, Richtung oder Ausdehnung („Zeit“ oder „Raum“) den unteilbaren Eindruck gestaltend beherrschen. Es handelt sich hier +nicht um eine Alternative+, sondern um eine +Skala+ von unendlich vielen und sehr verschiedenartigen Möglichkeiten, eine „Außenwelt“ als Abglanz und Zeugnis des eignen Daseins zu besitzen, eine Skala, deren Extreme eine rein +organische+ und eine rein +mechanische Weltanschauung+ (im wörtlichen Sinne: +Anschauung der Welt+) sind. Der Urmensch (so wie wir sein Bewußtsein uns vorstellen) und das Kind (wie wir uns erinnern) besitzen noch keine dieser Möglichkeiten mit hinreichender Klarheit der struktiven Durchbildung. Als Bedingung dieses höheren Weltbewußtseins hat man den Besitz der +Sprache+ anzusehen, und zwar nicht den einer menschlichen +Sprache+ überhaupt, sondern den einer +Kultursprache+, die für den ersten noch nicht vorhanden und für das andere, obwohl vorhanden, noch nicht zugänglich ist. Beide besitzen, um dasselbe mit andern Worten zu sagen, noch kein klares und deutliches Weltdenken, zwar eine Ahnung, aber noch kein wirkliches Wissen von Geschichte und Natur, in deren Zusammenhang ihr eigenes Dasein eingegliedert erscheint: +Sie haben keine Kultur.+

Damit erhält dies wichtige Wort einen bestimmten, höchst bedeutsamen Sinn, der in allem Folgenden vorausgesetzt wird. Ich unterscheide im Hinblick auf die oben gewählten Bezeichnungen der Seele als des Möglichen und der Welt als des Wirklichen +mögliche+ und +wirkliche+ Kultur, das heißt Kultur als +Idee des -- allgemeinen oder einzelnen -- Daseins+ und Kultur als +Körper+ dieser Idee, als die Summe ihres versinnlichten, räumlich und faßlich gewordenen Ausdrucks: Taten und Gesinnungen. Religion und Staat, Künste und Wissenschaften, Völker und Städte, wirtschaftliche und gesellschaftliche Formen, Sprachen, Rechte, Sitten, Charaktere, Gesichtszüge und Trachten. +Geschichte+ ist, mit dem Leben, dem Werden eng verwandt, +die Verwirklichung möglicher Kultur+.

Es muß hinzugefügt werden, daß diese grundlegenden Bestimmungen zum großen Teil nicht mehr im Bereiche der Mitteilbarkeit durch Begriff, Definition und Beweis liegen, daß sie vielmehr ihrer tiefsten Bedeutung nach gefühlt, erlebt, erschaut werden müssen. Es besteht ein selten gewürdigter Unterschied zwischen +Erleben+ und +Erkennen+ als den Formen der Beziehung zwischen Eignem und Fremdem („Subjekt und Objekt“). Er wird deutlich in dem Unterschiede zwischen der unmittelbaren Gewißheit, wie sie die Arten der Intuition (Erleuchtung, Eingebung, künstlerisches Schauen, Goethes „exakte sinnliche Phantasie“) gewähren und den Resultaten der verstandesmäßigen Erfahrung und experimentellen Technik. Der Mitteilung dienen dort der Vergleich, das Bild, das Symbol, hier die Formel, das Gesetz, das Schema. Gewordnes wird erkannt oder vielmehr, wie sich zeigen wird, das Gewordensein für den menschlichen Geist ist mit dem vollzogenen Erkenntnisakt identisch. Ein Werden kann nur erlebt, mit tiefem, wortlosem Verstehen gefühlt werden. Hierauf beruht das, was man Menschenkenntnis nennt. Geschichte verstehen heißt Menschenkenner im höchsten Sinne sein. Je reiner ein Geschichtsbild, desto ausschließlicher ist es diesem nicht eigentlich irdischen Blick zugänglich, der mit den Erkenntnismitteln, welche die „Kritik der reinen Vernunft“ untersucht, nichts zu schaffen hat. Der Mechanismus eines reinen Naturbildes, etwa der Welt Newtons und Kants, wird erkannt, begriffen, zergliedert, in Gesetze und Gleichungen, zuletzt in ein System gebracht. Der Organismus eines reinen Geschichtsbildes, wie es die Welt Plotins, Dantes und Brunos war, wird angeschaut, innerlich erlebt, als Gestalt und Sinnbild aufgefaßt, zuletzt in dichterischen und künstlerischen Konzeptionen wiedergegeben. -- Goethes „lebendige Natur“ ist ein +historisches+ Weltbild.

Erleben und Erkennen sind Bewußtseinsakte einzelner Menschen. Ihr Resultat, nunmehr ein Stück Vergangenheit, Gedächtnis, Wissen, heißt +ein Erlebnis+ oder +eine Erkenntnis+. +Etwas verstehen+ -- historisch oder natürlich -- heißt es in die schon vorhandene Summe von Erlebnissen oder Erkenntnissen harmonisch einordnen können.

Ich wähle als Beispiel für die Art, wie eine Seele sich im Bilde ihrer Umwelt zu verwirklichen sucht, inwiefern also gewordne Kultur Ausdruck und Abbild einer Idee menschlichen Daseins ist, die +Zahl+, die aller Mathematik als schlechthin gegebenes Element zugrunde liegt. Und zwar deshalb, weil die Mathematik, in ihrer ganzen Tiefe den wenigsten erreichbar, einen einzigartigen Rang unter allen Schöpfungen des Geistes behauptet. Sie ist eine Wissenschaft strengsten Stils wie die Logik, aber umfassender und bei weitem gehaltvoller; sie ist eine echte Kunst neben der Plastik und Musik, was die Notwendigkeit einer leitenden Inspiration und die großen formalen Konventionen in ihrer Entwicklung angeht; sie ist endlich eine Metaphysik vom höchsten Range, wie Plato und vor allem Leibniz beweisen. Jede Philosophie ist bisher in der Verbundenheit mit einer +zugehörigen+ Mathematik erwachsen. Die Zahl ist die bildgewordene Idee der +kausalen+ Notwendigkeit, wie die Vorstellung von Gott, die jede Kultur aus ihrer tiefsten Tiefe neu gestaltet, die bildgewordene Idee der Notwendigkeit des +Schicksals+ ist. In diesem Sinne darf man das Dasein von Zahlen ein Mysterium nennen, und das religiöse Denken aller Kulturen hat sich diesem Eindruck nie entzogen.

Wie alles Werden das ursprüngliche Merkmal der +Richtung+ (Nichtumkehrbarkeit), so trägt alles Gewordne das Merkmal der +Ausdehnung+ und zwar so, daß nur eine künstliche Trennung der Bedeutung dieser Worte möglich erscheint. Das eigentliche Geheimnis alles Gewordnen und also (räumlich-stofflich) Ausgedehnten aber verkörpert sich im Geistigen jeder Kultur im Typus der +mathematischen+ (starren) im Gegensatz zur +chronologischen+ Zahl. Und zwar liegt in ihrem Wesen die Absicht einer +mechanischen Grenzsetzung+. Die Zahl ist darin dem Worte verwandt, das -- als Begriff, „begreifend“, „bezeichnend“ -- ebenfalls Welteindrücke abgrenzt. Das Tiefste ist hier allerdings unfaßlich und unaussprechlich. Die +wirkliche+, zum Ding gewordene Zahl, das +exakt vorgestellte, gesprochene, geschriebene Zahlzeichen+ -- Ziffer, Formel, Zeichen, Figur --, das allein der mathematischen Behandlung unterliegt, ist wie das gedachte, gesprochene, geschriebene Wort bereits ein optisches Symbol dafür, versinnlicht und mitteilbar, in welchem die Grenzsetzung abgebildet erscheint. Der Ursprung der Zahlen gleicht dem Ursprung des Mythus. Der Römer erhob die _numina_, unbestimmbare Natureindrücke („das Fremde“) zu Gottheiten, indem er sie durch einen +Namen+, sie begrenzend, bannte. Ebenso sind Zahlen und Worte +gestaltetes, in Form gebanntes Weltgefühl+. Mit ihnen gelangt der Geist („das Eigne“) zur Macht. Mit ihnen ordnet und zergliedert er die Welt. Alle echten Erkenntnisakte -- nicht Erlebnisakte -- als solche an das Vorhandensein einer Kultursprache gebunden, bezwecken das gleiche. Die Definition, das Urteil, das Gesetz, das System sind Resultate vollzogener Grenzsetzungen und die Feststellung eines Kausalverhältnisses, in der sich das Wesen aller Naturwissenschaft erschöpft, besteht lediglich in der präzisen Abgrenzung zweier Eindrücke, die im Hinblick auf die Zahl Ursache und Wirkung, im Hinblick auf das Wort Grund und Folge heißen. Hierauf beruht die innere Verwandtschaft des Baues einer hochentwickelten Sprache (Grammatik, Satzbau) mit der zugehörigen Mathematik. Die Logik ist immer eine Art Mathematik und umgekehrt. Mithin liegt auch in allen Bewußtseinsakten, welche zur mathematischen Zahl in Beziehung stehen -- messen, zählen, zeichnen, wägen, ordnen, teilen --, die gemeinsame Tendenz auf Abgrenzung von Gewordnem und Ausgedehntem und erst durch kaum noch bewußte Akte dieser Art gibt es für den wachen Menschen objektive Gegenstände, Eigenschaften, Beziehungen, Einzelnes, Einheit und Mehrheit, kurz die als notwendig und unerschütterlich empfundene Struktur desjenigen Weltbildes, das er „Natur“ nennt und als solche „erkennt“. +Natur ist das Zählbare.+ Geschichte ist der Inbegriff dessen, was zur Mathematik kein Verhältnis hat. Daher die mathematische Gewißheit der Naturgesetze, die staunende Einsicht Galileis, daß die Natur „_scritta in lingua matematica_“ sei und die von Kant hervorgehobene Tatsache, daß die exakte Naturwissenschaft genau so weit reicht wie die Möglichkeit der Anwendung mathematischer Methoden.

In der Zahl als dem +Zeichen der vollendeten extensiven Begrenzung+ liegt demnach, wie Pythagoras infolge einer großartigen, durchaus religiösen Intuition mit innerster Gewißheit begriff, das +Wesen+ alles Wirklichen, das geworden, erkannt, begrenzt zugleich ist. Indes darf man Mathematik, wenn man darunter den Besitz einer eingebornen virtuellen Zahlenwelt versteht, nicht mit der viel engeren wissenschaftlichen Mathematik, der +Lehre+ von den Zahlen verwechseln. Das eine ist eine erschöpfende und notwendige Eigenschaft des Bewußtseins, das andere eine +mögliche+ Art, sie geistig zu entwickeln. Die geschriebene Mathematik, ein System starrer Sätze, repräsentiert so wenig wie die in theoretischen Werken niedergelegte Philosophie den ganzen Besitz dessen, was im Schoße einer Kultur an mathematischen und philosophischen Möglichkeiten vorhanden war. Es gibt noch ganz andere Wege, das den Zahlen zugrunde liegende Urgefühl zu versinnlichen, das Gewordne und Ausgedehnte, sei es Stoff oder Raum, einem gestaltenden Prinzip zu unterwerfen. Am Anfang jeder Kultur steht ein archaischer Stil, den man nicht nur in der frühhellenischen Kunst hätte geometrisch nennen können. Es liegt etwas Gemeinsames, ausdrücklich Mathematisches im Dipylonstil der altgriechischen Grabvasen, im Tempelstil der 4. Dynastie Ägyptens mit seiner unbedingten Herrschaft der geraden Linie und des rechten Winkels, im hieratischen Stil der altchristlichen Sarkophagreliefs und im romanischen Ornament. Jede Linie, jede menschliche oder Tierfigur mit ihrer gar nicht imitativen Tendenz offenbart hier ein mystisches Zahlendenken in unmittelbarer Beziehung auf das Geheimnis und den Kult des Todes (des Starren).

Gotische Dome und dorische Tempel sind +steingewordne Mathematik+. Gewiß hat Pythagoras die antike Zahl als das Prinzip einer Weltordnung +greifbarer+ Dinge, als +Maß oder Größe+, wissenschaftlich erfaßt. Aber sie wurde eben damals, ebenfalls als schöne Ordnung von sinnlich-körperhaften Einheiten, durch den strengen Kanon der hellenischen Statue und der dorischen wie ionischen Säulenordnung zum Ausdruck gebracht. Alle großen Künste sind ebensoviel Arten zahlenmäßiger bedeutungsvoller Grenzgebung. Man denke an das Raumproblem in der Malerei. Eine hohe mathematische Begabung kann auch ohne jede Wissenschaft produktiv sein und zum vollen Bewußtsein ihrer selbst gelangen. Man wird doch angesichts des gewaltigen Zahlensinnes, den die Raumgliederung der Pyramidentempel, die Bau-, Bewässerungs- und Verwaltungstechnik, vom ägyptischen Kalender ganz zu schweigen, schon im Alten Reiche um 2800 v. Chr. voraussetzt, nicht behaupten wollen, daß das wertlose „Rechenbuch des Ahmes“ aus dem Neuen Reiche das Niveau der ägyptischen Mathematik bezeichne. Die Eingebornen Australiens, deren Geist durchaus der Stufe des Urmenschen angehört, besitzen einen mathematischen Instinkt oder, was dasselbe ist, einen noch nicht durch Worte und Zeichen bewußt gewordnen Schatz an Zahlen, der in bezug auf die Interpretation reiner Räumlichkeit den griechischen bei weitem übertrifft. Sie haben als Waffe den Bumerang erfunden, dessen Wirkung auf eine gefühlsmäßige Vertrautheit mit Zahlenarten schließen läßt, die wir der höheren geometrischen Analysis zuweisen würden. Sie besitzen +dementsprechend+ -- aus einem später zu erläuternden Zusammenhange -- ein äußerst kompliziertes Zeremoniell und eine so feine sprachliche Abstufung der Verwandtschaftsgrade, wie sie nirgends, selbst in hohen Kulturen nicht, wieder beobachtet worden ist. Dem entspricht es, daß die Griechen in ihrer reifsten Zeit unter Perikles in Analogie zur euklidischen Mathematik weder einen Sinn für das Zeremoniell des öffentlichen Lebens noch für die Einsamkeit besaßen, sehr im Gegensatz zum Barock, das neben der Analysis des Raumes den Hof des Sonnenkönigs und ein auf dynastischen Verwandtschaften beruhendes Staatensystem entstehen sah.

Es ist der Stil einer Seele, der in einer Zahlenwelt, aber nicht in ihrer wissenschaftlichen Fassung allein zum Ausdruck kommt.

Daraus folgt ein entscheidender Umstand, der den Mathematikern selbst bisher verborgen geblieben ist.

+Eine Zahl an sich gibt es nicht und kann es nicht geben.+ Es gibt mehrere Zahlenwelten, weil es mehrere Kulturen gibt. Wir finden einen indischen, arabischen, antiken, abendländischen Zahlentypus, jeder von Grund aus etwas Eignes und Einziges, jeder Ausdruck eines andern Weltgefühls, jeder Symbol von einer auch wissenschaftlich genau begrenzten Gültigkeit, Prinzip einer Ordnung des Gewordnen, in der sich das tiefste Wesen einer einzigen und keiner andern Seele spiegelt, derjenigen, welche Mittelpunkt gerade dieser und keiner andern Kultur ist. Es gibt demnach mehr als eine Mathematik. Denn ohne Zweifel ist das architektonische System der euklidischen Geometrie ein ganz andres als das der kartesischen, die Analysis von Archimedes eine andre als die von Gauß, nicht nur der Formensprache, der Absicht und den Mitteln nach, sondern vor allem in der Tiefe, im ursprünglichen Phänomen der Zahl, dessen wissenschaftliche Entwicklung sie darstellt. Diese im Geiste und durch den Geist empfangene Zahl, das Grenzerlebnis, das in ihr mit innerster Notwendigkeit versinnlicht und Form geworden ist, mithin auch die gesamte Natur, die ausgedehnte Welt, deren Bild durch diese spontane Grenzgebung entstand und die immer nur der Behandlung durch eine einzige Art von Mathematik zugänglich ist, das alles spricht nicht vom allgemeinen, sondern jedesmal von einem ganz bestimmten Menschentum.

Es hängt also für den Stil einer entstehenden Mathematik alles davon ab, in welcher Kultur sie wurzelt, was für Menschen über sie nachdenken. Denn die Zahl geht dem Geiste vorauf, nicht umgekehrt. Zahlen sind schöpferische, nicht geschaffene Wesenheiten. Der Geist kann die in ihnen verborgnen formalen Möglichkeiten zur wissenschaftlichen Entfaltung bringen, sie handhaben, an ihrer Behandlung zur höchsten Reife gelangen; sie zu modifizieren ist er völlig außerstande. In den frühesten Formen des Ornaments und der Architektur, schon in der dorischen Säule und der Kathedralgotik ist die Idee der euklidischen Geometrie und der Infinitesimalrechnung verwirklicht, Jahrhunderte bevor der erste Mathematiker dieser Kulturen geboren wurde.

Ein tiefes inneres Erlebnis, das eigentliche +Erwachen des Ich+, welches das Kind zum höhern Menschen, zum Gliede der ihm angehörigen Kultur macht, bezeichnet den Beginn des Zahlen- wie des Sprachverständnisses. Erst von hier an gibt es für das Bewußtsein Gegenstände als etwas in jedem Betrachte Begrenztes und Wohlunterschiedenes, erst von hier an genau bestimmbare Eigenschaften, Begriffe, eine kausale Notwendigkeit, ein +System+ der Umwelt, eine +Weltform+, +Weltgesetze+ -- das „Gesetzte“ ist seiner Natur nach immer das Begrenzte, Starre, den Zahlen Unterworfene -- und ein plötzliches Gefühl dafür, was Zahlen, sei es in Gestalt einer bildenden Kunst oder einer mathematischen Wissenschaft, +bedeuten+. Man begreift, daß sie dem Urmenschen wie dem Kinde noch verschlossen sind und daß eine entscheidende -- historische oder biographische -- Epoche eintritt, sobald der in seiner Bedeutung erfaßte Akt des Zählens, Messens, Zeichnens, Formens eine ganz neue Welt aus einem neu erschlossenen Innenleben hervorgehen läßt. Dies Erlebnis aber, mit dem der +große Stil+ beginnt, +trennt+ Kulturen, Arten der Seele +als Individuen+ aus dem primitiv Menschlichen ab.

Nun hat Kant den Besitz menschlichen Wissens nach Synthesen a priori (notwendig und allgemeingültig) und a posteriori (aus Erfahrung stammend) eingeteilt und die mathematische Erkenntnis den ersteren zugerechnet. Zweifellos hat er damit ein starkes inneres Gefühl in eine abstrakte Fassung gebracht. Aber ganz abgesehen davon, daß eine scharfe Grenze zwischen beiden, wie sie nach der ganzen Herkunft des Prinzips unbedingt gefordert werden müßte, nicht vorhanden ist (wofür die moderne höhere Mathematik und Mechanik mehr als hinreichend Beispiele gibt), erscheint auch das a priori, sicherlich eine der genialsten Konzeptionen aller Erkenntniskritik, als ein höchst schwieriger Begriff. Kant setzt mit ihm, ohne sich die Mühe eines Beweises zu geben -- der sich auch gar nicht erbringen läßt --, sowohl die +Unveränderlichkeit der Form+ aller Geistestätigkeit als ihre +Identität für alle Menschen+ voraus. Infolgedessen ist ein Umstand von gar nicht zu überschätzender Tragweite völlig übersehen worden, vor allem deshalb, weil Kant bei der Prüfung seiner Gedanken nur das geistige Material und den intellektuellen Habitus seiner Zeit zu Rate zog. Er betrifft den +schwankenden Grad+ dieser „Allgemeingültigkeit“. Neben gewissen Faktoren von zweifellos weitreichender Geltung, die wenigstens scheinbar unabhängig davon sind, zu welcher Kultur, in welches Jahrhundert der Erkennende gehört, liegt allem Denken auch noch eine ganz andere Notwendigkeit der Form zugrunde, welcher der Mensch eben als Glied +einer bestimmten und keiner anderen+ Kultur unterworfen ist. Das sind nun zwei sehr verschiedene Arten des apriorischen Gehaltes und es ist eine nie zu beantwortende, weil jenseits aller Erkenntnismöglichkeiten liegende Frage, welches die Grenze zwischen ihnen ist und ob es eine solche überhaupt gibt. Daß die bisher als selbstverständlich geltende Konstanz der geistigen Formen eine Illusion ist, daß es innerhalb der uns vorliegenden Geschichte mehr als einen +Stil des Erkennens+ gibt, hat man bisher nicht anzunehmen gewagt. Aber es sei daran erinnert, daß der consensus omnium nicht nur eine allgemeine Wahrheit, sondern auch einen allgemeinen Irrtum beweisen kann. Ein dunkler Zweifel war allenfalls immer da und man hätte das Richtige schon aus der Nichtübereinstimmung sämtlicher Denker erschließen sollen. Aber daß diese nicht auf eine Unvollkommenheit des menschlichen Geistes, auf ein „Noch nicht“ einer endgültigen Erkenntnis zurückgeht, kein Mangel, sondern eine schicksalhafte historische Notwendigkeit ist -- das ist eine +Entdeckung+. Das Tiefste und Letzte kann nicht aus der Konstanz, sondern allein aus der +Verschiedenheit+ und nur aus der +organischen Periodizität+ dieser Verschiedenheit erschlossen werden. Die +vergleichende Morphologie der Erkenntnisformen+ ist eine Aufgabe, die dem abendländischen Denken noch vorbehalten ist.

Wäre Mathematik eine bloße Wissenschaft wie die Astronomie oder Mineralogie, so würde man ihren Gegenstand definieren können. Man kann es nicht und hat es nicht gekonnt. Mögen wir Westeuropäer auch den eignen wissenschaftlichen Zahlbegriff gewaltsam auf das anwenden, was die Mathematiker in Athen und Bagdad beschäftigte, so viel ist sicher, daß Thema, Absicht und Methode der gleichnamigen Wissenschaft dort ganz andre waren. +Es gibt keine Mathematik, es gibt nur Mathematiken.+ Was wir Geschichte „der“ Mathematik nennen, vermeintlich die fortschreitende Verifikation eines einzigen und unveränderlichen Ideals, ist in der Tat, sobald man das täuschende Bild der historischen Oberfläche beseitigt, eine +Mehrzahl+ in sich geschlossener, unabhängiger Prozesse, eine wiederholte Geburt neuer, ein Aneignen, Umbilden und Abstreifen fremder Formenwelten, ein rein organisches, an eine bestimmte +Dauer+ gebundenes Aufblühen, Reifen, Welken und Sterben. Man lasse sich nicht täuschen. Der ahistorische griechische Geist schuf seine Mathematik aus dem Nichts; der historisch angelegte Geist des Abendlandes, der die +angelernte+ antike Wissenschaft schon besaß -- äußerlich, nicht innerlich --, mußte die eigne durch ein scheinbares Ändern und Verbessern, durch ein tatsächliches Vernichten der ihm inadäquaten euklidischen gewinnen. Das eine geschah durch Pythagoras, das andere durch Descartes. Beide Akte sind in der Tiefe +identisch+.

Die Verwandtschaft der Formensprache einer Mathematik mit der der benachbarten großen Künste wird demnach keinem Zweifel unterliegen. Das Ziel jeder Mathematik ist ein in sich vollendetes System von Sätzen, das die synthetische Ordnung a priori des starren Ausgedehnten repräsentiert, dieselbe unablässig erstrebte Synthese, welche auch im Formproblem, jeder bildenden Kunst und in dem Ringen jedes einzelnen Künstlers um die technische Meisterschaft auf seinem Gebiete zutage tritt. Das Formgefühl des Bildhauers, Malers, Tondichters ist ein wesentlich mathematisches. In der geometrischen Analysis und der projektiven Geometrie des 17. Jahrhunderts offenbart sich dieselbe Ordnung, welche die gleichzeitige Instrumentalmusik fugierten Stils durch die Regeln des Kontrapunktes, dieser Geometrie des Tonraumes, welche die ihr verschwisterte Ölmalerei durch das Prinzip einer +nur dem Abendlande+ bekannten Perspektive, der gefühlten Geometrie des Bildraumes, ins Leben rufen, ergreifen, durchdringen möchte. Sie ist das, was Goethe +die Idee+ nannte, +deren Gestalt im Sinnlichen unmittelbar angeschaut werde+, während die bloße Wissenschaft nicht anschaue, sondern nur beobachte und zergliedere. Aber die Mathematik geht über Beobachten und Zergliedern hinaus. Sie verfährt in ihren höchsten Augenblicken intuitiv, nicht abstrahierend. Von Goethe stammt das tiefe Wort, daß der Mathematiker nur insofern vollkommen sei, als er das +Schöne des Wahren+ in sich empfinde. Hier wird man fühlen, wie nahe das Geheimnis im Phänomen der Zahl dem Geheimnis der Kunstform liegt, die ebenfalls in einer bedeutsamen Grenzgebung, im schönen Maß, in der abgewogenen Größe, der strengen Beziehung, der Harmonie, kurz in einer vollkommenen Ordnung von Sinnlichem ihr Ziel findet. Damit tritt der geborene Mathematiker neben die großen Meister der Fuge, des Meißels und des Pinsels, die ebenfalls jene große Ordnung aller Dinge, die der bloße Mitmensch ihrer Kultur in sich trägt, ohne sie wirklich zu besitzen, in Symbole kleiden, verwirklichen, mitteilen wollen. Damit wird das Reich der Zahlen zum intuitiven Abbild der Weltform neben dem Reich der Töne, Linien und Farben. Deshalb bedeutet das Wort „schöpferisch“ im Mathematischen mehr als in den bloßen Wissenschaften. Newton, Gauß, Riemann waren künstlerische Naturen. Man lese nach, wie ihre großen Konzeptionen sie plötzlich überfielen. „Ein Mathematiker,“ meinte der alte Weierstraß, „der nicht zugleich ein Stück von einem Poeten ist, wird niemals ein vollkommener Mathematiker sein.“

Mathematik ist also +auch eine Kunst+. Sie hat ihre Stile und Stilperioden. Sie ist nicht, wie der Laie meint -- auch der Philosoph, insofern er hier als Laie urteilt --, der Substanz nach unveränderlich, sondern wie jede Kunst von Epoche zu Epoche unvermerkten Wandlungen unterworfen. Man sollte die Entwicklung der großen Künste nie behandeln, ohne auf die gleichzeitige Mathematik einen gewiß nicht unfruchtbaren Seitenblick zu werfen. Einzelheiten in den sehr tiefen Beziehungen zwischen den Tendenzen der Musiktheorie von Orlando Lasso an und den Entwicklungsphasen der Funktionentheorie sind niemals untersucht worden, obwohl die Ästhetik mehr daraus hätte lernen können als aus aller „Psychologie“. Alle ganz großen Mathematiker seit Fermat, Pascal und Descartes (1630) sind transzendente Analytiker, alle antiken von Pythagoras an (540) anschaulich-körperhaft denkende Naturen gewesen. Soll ich noch einmal auf die enge Verwandtschaft dieser Begabungen mit der anbrechenden Blütezeit dort der reinen Instrumentalmusik, hier der ionischen Marmorskulptur hinweisen? Die antike Mathematik, ursprünglich beinahe rein planimetrisch, zeigt in der Entwicklung von Pythagoras zu Archimedes eine Tendenz zum stereometrischen Denken +alles+ Zahlenmäßigen. Dem entspricht die Tendenz der Flächenmalerei attisch-korinthischen Stils über das der Fläche aufgesetzte Relief hinaus zur Rundplastik. Die Statue ging teils aus der figürlich -- reliefmäßig -- behandelten Säule (Hera des Cheramyes), teils aus der zur Wandverkleidung dienenden Holz- oder Erztafel (Artemis der Nikandre) hervor. Sowohl das Holz wie der Poros wurden mit dem Schnitzmesser bearbeitet und erst die Behandlung des Marmors mit dem Meißel entsprach ganz dem künstlerischen Gefühl der Schöpfung eines +Körpers+. Aber das Entsprechende geschieht im Abendlande. Während die auch weiterhin so genannte Geometrie sich zur Analysis des +reinen Raumes+ umbildet, aus der Schritt für Schritt das unmittelbar Optische beseitigt wird -- man beachte, wie weit schon der Koordinatenbegriff von Descartes über den von Fermat hinausgeht --, gewinnt die Instrumentalmusik ihre neuen Ausdrucksmittel. Seit 1520 beginnt die in Oberitalien erfundene Geige die Laute zu verdrängen. Das Fagott ist seit 1525 bekannt. In Deutschland hat sich während des 16. und 17. Jahrhunderts die Orgel zum +raumbeherrschenden+ Instrument entwickelt. Monteverdi (1567-1643), der mit der Einführung des Dominantseptakkordes die eigentliche Chromatik begründet, besaß das erste wirkliche Orchester und um 1630 erscheint mit Frescobaldi der erste große Orgelvirtuose. Und neben der analysis situs, dieser Meisterschöpfung von Leibniz, steht die mächtige Raumsymbolik der letzten Werke Rembrandts, der 1669 starb -- die des Selbstbildnisses in München, des Darmstädter Christus und des Evangelisten Matthäus.

Sicherlich unterscheidet auch dies das Formwollen jeder Mathematik von den rein wissenschaftlichen Absichten aller Physik und Chemie und rückt sie in die Nähe der bildenden Künste, daß ihr Element, die starren Zahlen, seien sie nun optisch oder transzendent aufgefaßt, keine empirischen Wirklichkeiten sind, sondern reine Formen des Ausgedehnten wie ornamentale Linien und musikalische Harmonien, ihr Verfahren also, mit Kant zu reden, synthetisch, künstlerisch gesprochen +Komposition+ ist, in welcher der echte Künstler einem +höheren Zwange -- dem „a priori“ Kants+ -- unterliegt. Das mag in den populären Teilen einer Mathematik weniger hervortreten, aber die Zahlengebilde höherer Ordnung, zu denen jede von ihnen und im Unterschiede von jeder andern alsbald aufsteigt, wie das indische Dezimalsystem, die antiken Gruppen der Kegelschnitte, der Primzahlen und der regelmäßigen Polyeder, im Abendlande der Zahlkörper, die mehrdimensionalen Räume, die höchst transzendenten Gebilde der Transformations- und Mengenlehre, die Gruppe der nichteuklidischen Geometrien, sind nicht mehr von rein verstandesmäßiger Herkunft und setzen, um in ihren letzten, völlig metaphysischen Gründen durchschaut zu werden, eine Art visionärer Erleuchtung voraus. Hier handelt es sich um ein inneres Erlebnis, nicht nur um Erkenntnis. Erst hier beginnt die +große+ Symbolik der Zahlen. Diese Formen, wie sie im Geiste großer Meister im Namen ihrer Kultur, als Ausdruck der letzten Geheimnisse ihres Weltgefühls entstehen, offenbaren dem Eingeweihten etwas wie den Urgrund seines Daseins. Diese Schöpfungen muß man wie das Innere eines Domes, wie die Verse der Engel im Faustprolog oder eine Kantate von Bach auf sich wirken lassen, wozu es glücklicher und seltener Stunden bedarf. Nur wer dies vermag, und es wird immer nur eine sehr kleine Zahl reifer Geister sein, begreift Plato, wenn er die ewigen Ideen seines Kosmos „+die Zahlen+“ nannte.

Als man im Kreise der Pythagoräer um 540 zu der Einsicht kam, daß +das Wesen aller Dinge die Zahl+ sei, da wurde nicht „in der Entwicklung der Mathematik ein Schritt vorwärts getan“, sondern es wurde eine ganz neue Mathematik aus der Tiefe des antiken Seelentums geboren, als selbstbewußte Theorie, nachdem sie in metaphysischen Problemen und künstlerischen Formtendenzen sich längst angekündigt hatte. Eine neue Mathematik, wie die stets ungeschrieben gebliebene der ägyptischen und wie die algebraisch-astronomisch gestaltete der babylonischen Kultur mit ihren ekliptischen Koordinatensystemen, die beide in einer großen Stunde der Geschichte einmal geboren worden und damals längst erloschen waren. Die zur Römerzeit schon greisenhafte antike Mathematik verschwand aus dem lebendigen Werden trotz ihres noch heute währenden Scheindaseins in unsrer Bezeichnungsweise, um viel später und in einer entfernten Landschaft der arabischen Platz zu machen; auf diese längst erstorbene folgte nach langer Zwischenzeit, wieder als eine ganz neue Schöpfung eines neuen Bodens, die abendländische, +unsere+ Mathematik, die wir in seltsamer Verblendung als die Mathematik, den Gipfel und das Ziel einer zweitausendjährigen Entwicklung ansehen und deren heute fast abgelaufene Jahrhunderte ebenso streng bemessen sind.

Jener Ausspruch, daß die Zahl das Wesen aller +sinnlich greifbaren+ Dinge darstelle, ist der wertvollste der antiken Mathematik geblieben. Mit ihm ist die Zahl als +Maß+ definiert. Darin liegt das ganze Weltgefühl einer dem +Jetzt und Hier+ leidenschaftlich zugewendeten Seele. Messen in diesem Sinne heißt etwas Nahes und Körperhaftes messen. Denken wir an den Inbegriff des antiken Kunstwerkes, die freistehende Bildsäule eines nackten Menschen: Hier ist alles Wesentliche und Bedeutsame des Daseins, sein ganzes Ethos, erschöpfend durch Flächen, Maße und die sinnlichen Verhältnisse der Teile gegeben. Der pythagoräische Begriff der Harmonie der Zahlen, obwohl vielleicht aus der -- monophonen -- Musik abgeleitet, scheint durchaus für das Ideal dieser Plastik geprägt zu sein. Der behandelte Stein ist nur insofern ein Etwas, als er abgewogene Grenzen und gemessene Form besitzt, als das, was er unter dem Meißel des Künstlers +geworden+ ist. Abgesehen davon ist er ein +Chaos+, etwas noch nicht Verwirklichtes, vorläufig also ein Nichts. Dies Gefühl, ins Große übertragen, schafft als Gegensatz zum Chaos den +Kosmos+, die Außenwelt der antiken Seele, die harmonische Ordnung aller wohlbegrenzten und greifbar gegenwärtigen Einzeldinge. Die Summe dieser Dinge ist bereits die +ganze Welt+. Der Abstand zwischen ihnen, +unser+ mit dem ganzen Pathos eines großen Symbols erfüllter Weltraum, ist nichts, τὸ μὴ ὄν. Ausdehnung heißt für den antiken Menschen Körperlichkeit, für uns Raum, als dessen Funktion die Dinge „erscheinen“. Von hier aus rückwärts blickend enträtseln wir vielleicht den tiefsten Begriff der antiken Metaphysik, das ἄπειρον Anaximanders, das sich in keine Sprache des Abendlandes übersetzen läßt: es ist das, was keine „Zahl“ im pythagoräischen Sinne besitzt, keine gemessene Größe und Grenze, kein Wesen also; das Maßlose, die Unform, eine Statue, die noch nicht aus dem Blocke herausgemeißelt ist. Dies ist die ἀρχή, das optisch Grenzen- und Formlose, das erst durch Grenzen, sinnliche Vereinzelung ein Etwas, die Welt nämlich, wird. Es ist das, was der antiken Erkenntnis als Form a priori zugrunde liegt, Körperlichkeit an sich, und an dessen Stelle im kantischen Weltbilde genau entsprechend der absolute Raum erscheint, aus dem Kant sich angeblich „alle Dinge fortdenken konnte“.

Man wird jetzt begreifen, was eine Mathematik von der andern, was insbesondere die antike von der abendländischen scheidet. Das reife antike Denken konnte seinem ganzen Weltgefühl nach in der Mathematik nur die Lehre von den Größen-, Maß- und Gestaltverhältnissen leibhafter Körper sehen. Wenn Pythagoras aus diesem Gefühl heraus die entscheidende Formel aussprach, so war eben für ihn die Zahl ein +optisches+ Symbol, nicht Form überhaupt oder abstrakte Beziehung, sondern das Grenzzeichen des Gewordnen, insofern dieses in sinnlich übersehbaren Einzelheiten auftritt. Zahlen werden von der gesamten Antike ohne Ausnahme, als Maßeinheiten, als Größen, Strecken, Flächen aufgefaßt. Eine andre Art Ausdehnung ist ihr nicht vorstellbar. Alle antike Mathematik ist im letzten Grunde +Stereometrie+. Euklid, der im 3. Jahrhundert ihr System abschloß, meint, wenn er von einem Dreieck spricht, mit innerster Notwendigkeit die Grenzfläche eines Körpers, niemals ein System dreier sich schneidender Geraden oder eine Gruppe dreier Punkte im Raume von drei Dimensionen. Er bezeichnet die Linie als „Länge ohne Breite“ (μῆκος ἀπλατές). In unserm Munde wäre diese Definition kläglich gewesen. Innerhalb der antiken Mathematik ist sie ausgezeichnet.

Auch die abendländische Zahl ist nicht, wie Kant und selbst Helmholtz dachten, aus der „apriorischen Anschauungsform der Zeit“ entwickelt, sondern als Ordnung gleichartiger Einheiten etwas spezifisch Räumliches. Die Zeit hat, wie sich immer deutlicher zeigen wird, mit mathematischen Dingen nicht das Geringste zu tun. Zahlen gehören ausschließlich in die Sphäre des Ausgedehnten. Aber es gibt so viele Möglichkeiten und also Notwendigkeiten, Ausgedehntes geordnet vorzustellen, als es Kulturen gibt. Die antike Zahl ist nicht ein Denken räumlicher Beziehungen, sondern +für das leibliche Auge+ abgegrenzter, greifbarer Einheiten. Die Antike kennt deshalb -- das folgt mit Notwendigkeit -- nur die „+natürlichen+“ (+positiven ganzen+) Zahlen, die unter den vielen, höchst abstrakten Zahlenarten der abendländischen Mathematik, den komplexen, hyperkomplexen, nichtarchimedischen u. a. Systemen eine durch nichts ausgezeichnete Rolle spielen.

Deshalb ist die Vorstellung irrationaler Zahlen, in unsrer Schreibweise also unendlicher Dezimalbrüche, dem griechischen. Geiste unvollziehbar geblieben. Euklid sagt -- und man hätte ihn besser verstehen sollen --, daß inkommensurable Strecken sich „+nicht wie Zahlen+“ verhalten. In der Tat liegt im vollzogenen Begriff der irrationalen Zahl die völlige Trennung des +Zahlbegriffs+ vom Begriff der +Größe+ und zwar deshalb, weil eine solche Zahl, π z. B., niemals abgegrenzt oder exakt durch eine Strecke dargestellt werden kann. Daraus folgt aber, daß in der Vorstellung z. B. des Verhältnisses der Quadratseite zur Diagonale die antike Zahl, die eben +sinnliche+ Grenze, +abgeschlossene Größe+ und nichts andres ist, eine ganz andre Zahlidee berührt, die dem antiken Weltgefühl im tiefsten Innern fremd und darum unheimlich ist, als sei man nahe daran, ein gefährliches Geheimnis des eignen Daseins aufzudecken. Dies verrät ein seltsamer spätgriechischer Mythus, wonach derjenige, welcher zuerst die Betrachtung des Irrationalen aus dem Verborgnen an die Öffentlichkeit brachte, durch einen Schiffbruch umgekommen sei, „weil das Unaussprechliche und Bildlose immer verborgen bleiben solle“. Wer die Angst fühlt, welche diesem Mythus zugrunde liegt -- es ist dieselbe, welche den Griechen der reifsten Zeit vor der Ausdehnung seiner winzigen Stadtstaaten zu politisch organisierten Landschaften, vor der Anlage weiter Straßenfluchten und Alleen mit Fernblicken und berechneten Abschlüssen, vor der babylonischen Astronomie mit ihrer Durchdringung endloser Sternenräume und vor dem Verlassen des Mittelmeeres auf Bahnen, welche die Schiffe der Ägypter und Phöniker längst erschlossen hatten, immer wieder zurückschrecken ließ, die tiefe metaphysische Angst vor der Auflösung des Greifbar-Sinnlichen und Gegenwärtigen, mit dem sich das antike Dasein wie mit einer Schutzmauer umgeben hatte, hinter der etwas Unheimliches, ein Abgrund und Urgrund dieses gewissermaßen künstlich geschaffenen und behaupteten Kosmos schlief --, wer dies Gefühl begreift, der hat auch den letzten Sinn der antiken Zahl, +des Maßes im Gegensatz zum Unermeßlichen+ und das hohe religiöse Ethos in ihrer Beschränkung begriffen. Goethe, als Künstler, hat es sich wenigstens in seinen Naturstudien mit Leidenschaft zu eigen gemacht -- daher seine fast ängstliche Polemik gegen die Mathematik, die sich in Wirklichkeit, was noch niemand recht verstanden hat, instinktiv durchaus gegen die +nichtantike+ Mathematik, die der Naturlehre seiner Zeit zugrunde liegende Infinitesimalrechnung richtete.

Die antike Religiosität sammelt sich mit steigender Ausdrücklichkeit in sinnlich gegenwärtigen -- +ortsgebundenen+ -- Kulten, die allein jenes bildhafte, immernahe Göttertum repräsentieren. Abstrakte, in den heimatlosen Räumen des Denkens verschwebende +Dogmen+ sind ihm immer fern geblieben. Kult und Dogma verhalten sich wie die Statue zur Orgel im Dom. Es haftet der euklidischen Mathematik zweifellos etwas Kultisches an. Man denke an die Lehre von den regelmäßigen Polyedern und ihre Bedeutung für die Esoterik des platonischen Kreises. Dem entspricht andrerseits eine tiefe Verwandtschaft der Analysis des Unendlichen von Descartes an mit der gleichzeitigen Dogmatik in ihrem Fortschreiten zu einem reinen, von allen sinnlichen Bezügen gelösten Deismus. Voltaire, Lagrange und d’Alembert sind Zeitgenossen. Man empfand aus dem antiken Seelentum heraus das Prinzip des Irrationalen, also die Zerstörung der statuarischen Reihe der ganzen Zahlen, der Repräsentanten einer in sich vollkommenen Weltordnung, als einen Frevel gegen das Göttliche selbst. Bei Plato, im Timäus, ist dies Gefühl unverkennbar. Mit der Verwandlung der diskontinuierlichen Zahlenreihe in ein Kontinuum wird in der Tat nicht nur der antike Zahlbegriff, sondern der Begriff der antiken Welt selbst in Frage gestellt. Man begreift nun, daß nicht einmal die uns ohne Schwierigkeit vorstellbaren +negativen+ Zahlen, geschweige denn die +Null als Zahl+ -- welche für die indische Seele, die sie zuerst konzipiert hat, einen ganz entscheidenden metaphysischen Akzent besitzt -- in der antiken Mathematik möglich sind. Negative +Größen+ gibt es nicht. Der Ausdruck -2. -3 = +6 ist weder anschaulich noch eine Größenvorstellung. Mit +1 ist die Größenreihe zu Ende. In der graphischen Darstellung negativer Zahlen

(+3 +2 +1 0 -1 -2 -3) (.---.---.---.---.---.---)

werden von Null an die Strecken plötzlich +positive Symbole+ von etwas Negativem. Sie +bedeuten+ etwas, sie +sind+ nichts mehr. Negative Zahlen sind nicht Größen, sondern etwas, das durch Größen nur angedeutet werden kann. Die Vollziehung dieses Aktes lag aber nicht in der Richtung des antiken Zahlendenkens.

Alles aus antikem Geist Geborene ist also allein durch plastische Begrenztheit zum Range eines Wirklichen erhoben worden. Was sich nicht zeichnen läßt, ist nicht „Zahl“. Plato, Archytas und Eudoxos reden von Flächen- und Körperzahlen, wenn sie unsere zweiten und dritten Potenzen meinen, und es versteht sich von selbst, daß der Begriff höherer ganzzahliger Potenzen für sie nicht vorhanden ist. Eine Potenz vierten Grades würde aus dem plastischen Grundgefühl, das sofort eine vierdimensionale Ausgedehntheit substituiert, Unsinn sein. Ein Ausdruck gar wie e^{-ix}, der in unsern Formeln ständig erscheint, oder auch nur die schon im 14. Jahrhundert von Oresme verwandte Bezeichnung 5^{1/2} wären ihnen völlig absurd erschienen. Euklid nennt die Faktoren eines Produkts Seiten (πλευραί). Man rechnet mit Brüchen -- endlichen, wie sich versteht --, indem man das ganzzahlige Verhältnis zweier Strecken untersucht. Eben deshalb kann die Idee der Zahl Null gar nicht in Erscheinung treten, denn sie hat zeichnerisch keinen Sinn. Man wende nicht von der Gewöhnung unseres anders angelegten Denkens her ein, daß dies eben die „Urstufe“ in der Entwicklung „der“ Mathematik sei. Die antike Mathematik ist innerhalb der Welt, welche die antike Welt um sich herum schuf, etwas Vollkommenes. Sie ist es nur nicht +für uns+. Die babylonische und die indische Mathematik hatten das für das antike Zahlengefühl Unsinnige längst zu wesentlichen Bestandteilen +ihrer+ Zahlenwelten gemacht, und mancher griechische Denker wußte darum. Die Mathematik, es sei noch einmal gesagt, ist eine Illusion. Wirklich ist, was dem eignen Seelentum adäquat und symbolisch bedeutend ist. Dies allein ist „denknotwendig“, das andre ist unmöglich, verfehlt, unsinnig, oder, wie wir mit dem Hochmut historischer Geister zu sagen vorziehen, „primitiv“. Die moderne Mathematik, ein Meisterstück des abendländischen Geistes -- „wahr“ allerdings nur für ihn --, wäre Plato als lächerliche und mühselige Verirrung auf dem Wege erschienen, der +wahren+ Mathematik, der antiken natürlich, beizukommen; und wir machen uns sicherlich kaum eine Vorstellung davon, was alles an großen Konzeptionen fremder Kulturen wir haben untergehen lassen, weil wir es aus +unserem+ Denken und dessen Grenzen heraus nicht assimilieren konnten oder, was dasselbe ist, weil wir es als falsch, überflüssig und sinnlos empfanden.

Die antike Mathematik als Lehre von anschaulichen Größen will ausschließlich die Tatsachen des Gegenwärtigen deuten, und sie beschränkt also ihre Forschung wie ihren Geltungsbereich auf Gegenstände der Nähe und des Kleinen. Dieser Konsequenz gegenüber ergibt sich etwas sehr Unlogisches im praktischen Verhalten der abendländischen Mathematik, was eigentlich erst seit Entdeckung der nichteuklidischen Geometrien recht erkannt worden ist. Zahlen sind reine Formen des erkennenden Geistes. Ihre exakte Anwendbarkeit auf die reale Anschauung ist also ein Problem für sich. Die Kongruenz mathematischer Systeme mit der Empirie ist nichts weniger als selbstverständlich. Trotz des Laienvorurteils von der unmittelbaren mathematischen Evidenz der Anschauung, wie es sich bei Schopenhauer findet, stimmt die euklidische Geometrie, welche mit der populären Geometrie aller Zeiten eine oberflächliche Identität besitzt, nur in sehr engen Grenzen („auf dem Papier“) mit der Anschauung annähernd überein. Wie es bei großen Entfernungen steht, lehrt die einfache Tatsache, daß Parallelen sich am Horizont berühren. Die gesamte malerische Perspektive beruht auf ihr. Trotzdem ging Kant, der für einen abendländischen Denker in unverzeihlicher Weise vor der „Mathematik der Fernen“ auswich und sich stets, ganz „antik“, auf winzige Figuren berief, an denen gerade ihrer Kleinheit wegen das spezifisch abendländische, das infinitesimale Raumproblem gar nicht in Erscheinung treten konnte, von einer naiven Größenvergleichung aus. Euklid vermied es ebenfalls, aber für einen antiken Denker mit Recht, sich für die anschauliche Gewißheit seiner Axiome etwa auf ein Dreieck zu berufen, dessen Punkte durch den Standort des Beobachters und zwei Fixsterne gebildet werden, das also weder gezeichnet noch „angeschaut“ werden kann. Es war hier dasselbe Gefühl wirksam, das vor dem Irrationalen zurückschreckte und das Nichts nicht als Null, als Zahl, zu begreifen wagte, das also auch im Anschauen kosmischer Verhältnisse dem Unermeßlichen aus dem Wege ging, um das Symbol des Maßes zu bewahren.

Aristarch von Samos, der um 270 das Weltsystem entwarf, welches bei seiner Wiederentdeckung durch Kopernikus die metaphysische Leidenschaft des Abendlandes im tiefsten erregte -- man denke an Giordano Bruno --, das eine Erfüllung gewaltiger Ahnungen und eine Bestätigung jenes faustischen, gotischen Weltgefühls war, das schon in der Architektur seiner Kathedralen der Idee des unendlichen Raumes ein Opfer dargebracht hatte, wurde mit seinem Gedanken von der Antike völlig gleichgültig aufgenommen und bald -- man möchte sagen absichtlich -- vergessen. In der Tat ist das aristarchische Weltsystem für +diese+ Kultur seelisch belanglos. Es wäre ihrer Grundidee sogar gefährlich geworden. Und doch war es im Unterschiede von dem des Kopernikus -- diese entscheidende Tatsache ist immer unbeachtet geblieben -- durch eine besondere Fassung dem antiken Weltgefühl genau angepaßt. Aristarch nahm als +Abschluß+ des Kosmos eine körperlich durchaus begrenzte, optisch zu beherrschende +Hohlkugel+ an, in deren Mitte das kopernikanisch gedachte Planetensystem sich befindet. Damit war das Prinzip des Unendlichen, das den sinnlich-antiken Grenzbegriff gefährdet hätte, überwunden. Kein Gedanke an einen grenzenlosen Weltraum taucht auf, der hier schon unvermeidlich erscheint und dessen Konzeption dem babylonischen Denken längst gelungen war. Im Gegenteil. Archimedes beweist in seiner berühmten Schrift von der „Sandzahl“ -- wie schon das Wort verrät, der Widerlegung aller infinitesimalen Tendenzen, obwohl sie immer wieder als erster Schritt auf dem Wege zum modernen Integrationskalkül betrachtet wird --, daß dieser stereometrische Körper, denn etwas anderes ist der aristarchische Kosmos nicht, mit Atomen (Sand) erfüllt, zu +sehr großen+, aber +nicht zu unendlichen+ Resultaten führe. Das heißt aber gerade alles, was +uns+ die Analysis bedeutet, verneinen. Das Weltall unsrer Physik ist, wie die immer wieder scheiternden und sich dem Geiste von neuem aufdrängenden Hypothesen über den stofflich, d. h. mittelbar anschaulich gedachten Weltäther beweisen, die strengste Verleugnung aller materiellen Begrenztheit. Plato, Apollonius und Archimedes, sicherlich die feinsten und kühnsten Mathematiker der Antike, haben eine +rein optische+ Analysis des Gewordnen auf der Grundlage des plastisch-antiken Grenzwertes vollkommen durchgeführt. Sie gebrauchen tiefdurchdachte und uns schwer zugängliche Methoden einer Integralrechnung, die selbst mit der Methode des bestimmten Integrals von Leibniz nur scheinbare Ähnlichkeit besitzt, und sie wenden geometrische Örter und Koordinaten an, die durchaus benannte Maßzahlen und Strecken und nicht wie bei Fermat und vor allem bei Descartes unbenannte räumliche Beziehungen, Werte von Punkten in bezug auf ihre Lage im Raum sind. Hierher gehört vor allem die Exhaustionsmethode des Archimedes in seiner kürzlich entdeckten Schrift an Eratosthenes, wo er z. B. die Quadratur des Parabelsegments auf der Berechnung eingeschriebener Rechtecke (nicht mehr ähnlicher Polygone) begründet. Aber gerade die geistreiche, unendlich verwickelte Art, wie er in Anlehnung an gewisse geometrische Ideen Platos zum Resultat kommt, macht den ungeheuren Gegensatz zwischen dieser Intuition und der oberflächlich ähnlichen Pascals etwa fühlbar. Es gibt keinen schärferen Gegensatz hierzu -- wenn man vom Riemannschen Integralbegriff ganz absieht -- als die leider heute noch sogenannten Quadraturen, bei denen die „Fläche“ als durch eine Funktion begrenzt bezeichnet wird und von einer zeichnerischen Handhabe keine Rede mehr ist. Nirgends kommen beide Mathematiken einander so nahe und nirgends läßt sich die unüberschreitbare Kluft zweier Seelen, deren Ausdruck sie sind, gewisser fühlen.

Die reinen Zahlen, deren Phänomen die Ägypter im Stil ihrer Tempelhallen, Pyramiden und Statuenreihen mit einer tiefen Furcht vor ihrem Ursprung gleichsam verbargen, waren auch für die Hellenen der Schlüssel zum Sinn des Gewordenen, +Starren und also Vergänglichen+. Die mathematische Zahl als formales Grundprinzip der ausgedehnten Welt, die nur +aus+ dem wachen menschlichen Bewußtsein und für dieses da ist, steht durch das Medium der kausalen Notwendigkeit zum +Tode+ in Beziehung, wie die chronologische Zahl zum Werden, zum Leben, zur Notwendigkeit des Schicksals. Dieser Zusammenhang der mathematischen Form mit dem +Ende+ des organischen Seins, mit der Erscheinung seines anorganischen Restes, des Leichnams, wird sich immer deutlicher als der Ursprung aller großen Kunst enthüllen. Wir bemerkten schon die Entwicklung der frühen Ornamentik aus dem Bestattungskult. +Zahlen sind Symbole des Vergänglichen.+ Starre Formen verneinen das Leben. Formeln und Gesetze breiten Starrheit über das Bild der Natur. Zahlen töten. Es sind die Mütter Fausts, die hehr in Einsamkeit thronen, „in der Gebilde losgebundne Reiche

Gestaltung, Umgestaltung, Des ewigen Sinnes ewige Unterhaltung, Umschwebt von Bildern aller Kreatur.“

Hier berühren sich Goethe und Plato im Ahnen eines letzten Geheimnisses. Die Mütter, das Unzugängliche -- Platos Ideen -- bezeichnen die +Möglichkeiten+ eines Seelentums, seine ungeborenen Formen, welche sich in der sichtbaren, aus der Idee dieses Seelentums heraus mit innerster Notwendigkeit geordneten Welt als tätige und geschaffene Kultur, als Kunst, Gedanke, Staat, Religion verwirklicht haben. Hierauf beruht die Verwandtschaft des Zahlensystems einer Kultur mit deren Weltidee, eine Beziehung, die es über das bloße Wissen und Erkennen zur Bedeutung einer Weltanschauung erhebt und die bewirkt, daß es so viele Mathematiken -- Zahlenwelten -- gibt als es hohe Kulturen gibt. So allein wird es begreiflich und +notwendig+, daß die größten mathematischen Denker, bildende Künstler im Reiche der Zahlen, aus tief religiöser Intuition zur Auffindung der entscheidenden mathematischen Probleme ihrer Kultur gelangt sind. So hat man sich die Schöpfung der antiken, apollinischen Zahl durch Pythagoras, den +Stifter einer Religion+, zu denken. Dies Urgefühl hat Nicolaus Cusanus, den großen Bischof von Brixen, geleitet, als er um 1450 von der Betrachtung der Unendlichkeit Gottes in der Natur ausgehend die Grundzüge der Infinitesimalrechnung fand. Leibniz, der ihre Idee zwei Jahrhunderte später vollendete, hat selbst aus rein metaphysischen Betrachtungen über das göttliche Prinzip und seine Beziehung zum unendlichen Ausgedehnten die _analysis situs_ entwickelt, vielleicht die genialste Interpretation des reinen, von allem Sinnlichen befreiten Raumes, deren reiche Möglichkeiten erst im 19. Jahrhundert durch Graßmann in seiner Ausdehnungslehre und Riemann in seiner Symbolik der zweiseitigen Flächen, welche die Natur von Gleichungen repräsentieren, entfaltet worden sind. Descartes, ein tiefer Christ aus dem Kreise von Port Royal, hat, einem innern Bedürfnis folgend, anläßlich seiner philosophisch-mathematischen Unterweisung die Pfalzgräfin Elisabeth und Gustav Adolfs Tochter, Königin Christine von Schweden, wieder zum Katholizismus bekehrt. Und Kepler wie Newton, beide streng religiöse Naturen, blieben sich, wie Plato, durchaus bewußt, gerade durch das Medium der Zahlen das Wesen einer göttlichen Weltordnung intuitiv erfaßt zu haben.

Erst Diophant hat, wie man immer hört, die antike Arithmetik aus ihrer sinnlichen Gebundenheit befreit, sie erweitert und fortgeführt und die Algebra als die Lehre von den unbestimmten Größen geschaffen. Das ist allerdings nicht eine Bereicherung, sondern eine vollkommene Überwindung des antiken Weltgefühls, und allein dies hätte beweisen sollen, daß Diophant der antiken Kultur innerlich nicht mehr angehörte. Ein neues Zahlengefühl oder sagen wir Grenzgefühl dem Wirklichen, Gewordnen gegenüber ist in ihm tätig, nicht mehr jenes hellenische, aus dessen sinnlich-gegenwärtigen Grenzwerten sich neben der euklidischen Geometrie der greifbaren Körper auch die sie nachbildende Plastik der nackten Statue entwickelt hatte. Einzelheiten der Ausbildung dieser +neuen+ Mathematik kennen wir nicht. Bei Diophant taucht unter der +Absicht+ euklidischer Gedankengänge jenes neue Grenzgefühl auf -- ich nenne es das +magische+ --, das sich seiner Gegensätzlichkeit zu der angestrebten antiken Fassung gar nicht bewußt ist. Die Idee der +Zahl als Größe+ wird nicht erweitert, sondern unvermerkt aufgelöst. Was eine +unbestimmte+ Zahl a und was eine +unbenannte+ Zahl 3 ist -- beides weder Größe noch Maß noch Strecke -- hätte ein Grieche gar nicht angeben können. Das neue, in diesen Zahlenarten inkarnierte Grenzgefühl liegt den diophantischen Betrachtungen wenigstens zugrunde; die uns geläufige Buchstabenrechnung selbst, in deren Gewande sich die inzwischen nochmals ganz umgedeutete Algebra heute darstellt, ist erst in fühlbarer, aber unbewußter Opposition gegen die antikisierende Renaissancerechnung 1591 durch Vieta eingeführt worden.

Diophant lebte um 250 n. Chr., +also im dritten Jahrhundert der arabischen Kultur+, deren geschichtlicher Organismus bisher unter den Oberflächenformen der römischen Kaiserzeit und des „Mittelalters“ verschüttet lag[26] und der alles angehört, was seit Beginn unserer Zeitrechnung in der Landschaft des kommenden Islam entstanden ist. Gerade damals erblich vor dem neuen Raumgefühl der Basiliken, Mosaiken und Sarkophagreliefs altchristlich-syrischen Stils der letzte Schatten der attischen Statuenplastik. Damals gab es wieder eine +archaische Kunst+ und ein streng geometrisches Ornament. Damals gerade vollendete Diokletian den +Khalifat+ des nur noch scheinbar römischen Reiches. 500 Jahre liegen zwischen Euklid und Diophant, zwischen Plato und Plotin, dem letzten, abschließenden Denker -- dem +Kant+ -- einer vollendeten und dem ersten mystischen Geiste -- dem +Dante+ -- einer eben erwachten Kultur.

Hier berühren wir zum ersten Male das bisher unbekannte Phänomen jener großen Individuen, deren Werden, Wachsen und Welken unter einer tausendfarbigen verwirrenden Oberfläche die +eigentliche Substanz der Weltgeschichte+ bildet. Das im römischen Geiste dahinschwindende antike Seelentum, dessen „Leib“ die historische Wirklichkeit der antiken Kultur mit ihren Werken, Gedanken, Taten und Trümmern ist, war um 1100 v. Chr. aus der Landschaft des ägäischen Meeres geboren worden. Die seit Augustus im Osten unter der Decke antiker Zivilisation keimende arabische Kultur entstammt durchaus dem Schoße der Landschaft zwischen Nil und Euphrat, Kairo und Bagdad. Als Ausdruck dieser neuen Seele hat man fast die gesamte „spätantike“ Kunst der Kaiserzeit, die sämtlichen, von einer jungen Glut erfüllten Kulte des Ostens, die des Mithras, Serapis, Horus, der Isis, der syrischen Baale von Emesa und Palmyra, das Christentum und den Neuplatonismus, die kaiserlichen Fora in Rom und das dort von einem Syrer erbaute Pantheon, +die früheste aller Moscheen+, zu betrachten.

Daß man damals griechisch schrieb und griechisch zu denken glaubte, wiegt nicht schwerer als die Tatsache, daß die Wissenschaft des Abendlandes bis zu Kant hinauf die lateinische Sprache vorzog und daß Karl der Große das römische Reich „erneuerte“.

Bei Diophant ist die Zahl nicht mehr das Maß und Wesen von +plastischen Dingen+. Auf den ravennatischen Mosaiken ist der Mensch nicht mehr +Körper+. Unvermerkt haben die griechischen Bezeichnungen ihren ursprünglichen Gehalt verloren. Wir verlassen die Sphäre der attischen καλοκἀγαθία, der stoischen ἀταραξία und γαλήνη. Zwar kennt Diophant die Null und die negativen Zahlen noch nicht, aber die plastischen Einheiten pythagoräischer Zahlen kennt er +nicht mehr+. Andrerseits ist die Unbestimmtheit der unbenannten arabischen Zahlen doch auch etwas ganz andres als die gesetzmäßige Variabilität der spätem abendländischen Zahl, der +Funktion+.

Die +magische+ Mathematik, die Algebra, hat sich, ohne daß uns Einzelheiten bekannt wären, über Diophant hinaus -- der schon eine gewisse Entwicklung voraussetzt -- logisch und in großer Linie bis zur Vollendung in der Abassidenzeit des 9. Jahrhunderts entwickelt, wie der Stand der Kenntnisse bei Alchwarizmi und Alsidschzi beweist. Dann erst beginnt, wieder ein halbes Jahrtausend später und in einer neuen, entfernten Landschaft der großartige Prozeß der Umdeutung dieser magischen, uns durch die spanischen Araber überlieferten Zahlenwelt in die funktionale Westeuropas, der mächtige Kampf gegen ein sich andrängendes fremdes Weltgefühl mit seiner innerlich gereiften Raumdeutung, welche die junge, gotische Seele abwehren und brechen mußte, um ihr Eigenstes nicht verkümmern zu lassen, ein heimliches Ringen in allen Architekturen, jeder Fassade, jedem Ornament, jedem Symbol, jedem metaphysischen und mathematischen Problem, das in seiner stummen Erhabenheit noch nie gefühlt worden ist.

Was neben der euklidischen Geometrie die attische Plastik -- die gleiche Formensprache in andrem Gewande -- was neben der Analysis des Raumes der fugierte Stil der Instrumentalmusik, das bedeutet neben dieser Algebra die magische Kunst der Mosaiken, der vom Sassanidenreich und später von Byzanz aus immer reicher entwickelten Arabeske mit ihrem sinnlich-unsinnlichen Verschweben organischer Formmotive und das Hochrelief konstantinischen Stils mit dem ungewissen Tiefendunkel des zwischen frei herausgearbeiteten Figuren ausgesparten Hintergrundes. Wie die Algebra zur antiken Arithmetik und zur abendländischen Analysis, so verhält sich die Kuppelbasilika zum dorischen Tempel und zum gotischen Dom.

Nicht als ob Diophant ein großer Mathematiker gewesen wäre. Das meiste, woran man bei seinem Namen erinnert wird, steht nicht in seinen Schriften und was darin steht, ist sicherlich nicht ganz sein Eigentum. Seine zufällige Bedeutung liegt darin, daß -- nach unsrem Wissen -- bei ihm als dem ersten das neue Zahlengefühl unverkennbar vorhanden ist. Man wird, Meistern gegenüber, die eine Mathematik +abschließen+, wie Apollonius und Archimedes die antike und ihnen entsprechend Gauß, Cauchy, Riemann die abendländische, bei Diophant und Menelaos etwas Primitives finden, das bisher gern als Dekadence angesprochen wurde. Man wird es künftig -- nach dem Vorbilde der Umwertung der vermeintlich spätantiken, bisher geradezu verachteten Kunst zur tastenden Äußerung des eben erwachenden früharabischen Weltgefühls -- begreifen und schätzen lernen. Ebenso archaisch, primitiv und suchend wirkt die Mathematik des Nikolas von Oresme, Bischofs von Lisieux (1323 bis 1382), der zum ersten Mal im Abendlande eine freie Art von Koordinaten und sogar Potenzen mit gebrochnen Exponenten verwandte, die ein Zahlengefühl voraussetzen, unklar noch, aber doch unverkennbar, das gänzlich unantik, aber auch nicht mehr arabisch ist. Man erinnere sich neben Diophant an frühchristliche Sarkophage der römischen Sammlungen und neben Oresme an gotische Gewandstatuen deutscher Dome, und man wird auch in den mathematischen Gedankengängen, die bei beiden die +gleiche+ frühe Stufe des Intellekts darstellen, etwas Verwandtes bemerken. Das stereometrische Grenzgefühl in der letzten Verfeinerung und Eleganz eines Archimedes war verloren gegangen. Man war dumpf, sehnsüchtig, mystisch, nicht mehr attisch hell und frei gestimmt. Man war der erdgeborne Mensch einer frühen Landschaft, nicht Großstädter, wie Euklid und d’Alembert.[27] Man verstand die tiefen und komplizierten Gebilde des antiken Denkens nicht mehr und besaß verworrene, neue, deren klare städtisch-intellektuelle Fassung noch nicht gefunden werden konnte. Dies ist der +gotische+ Zustand aller jungen Kulturen, den die Antike selbst in ihrer frühdorischen Zeit durchschritten hatte, von welcher außer den Grabvasen des Dipylonstils nichts geblieben ist. Erst in Bagdad, im 9. und 10. Jahrhundert, sind die Konzeptionen der Epoche Diophants von reifen Meistern, die Plato und Gauß nicht nachstehen, durchgeführt und abgeschlossen worden.

Die entscheidende Tat des Descartes, dessen Geometrie 1637 erschien, bestand +nicht+ in der Einführung einer neuen Methode oder Anschauung auf dem Gebiete der überlieferten Geometrie, wie dies immer wieder ausgesprochen wird, sondern in der endgültigen Konzeption einer +neuen Zahlenidee+, die sich in der Lösung der Geometrie von der optischen Handhabe der Konstruktion, von der gemessenen und meßbaren Strecke überhaupt aussprach. Damit war die Analysis des Unendlichen Tatsache geworden. Das starre, sogenannte kartesische Koordinatensystem, der ideale Repräsentant von meßbaren Größen in halbeuklidischem Sinne, das in der vorhergehenden Periode, bei Oresme z. B., Bedeutung hat, wurde durch Descartes, wenn man in die Tiefe seiner Erwägungen dringt, nicht vollendet, sondern überwunden. Sein Zeitgenosse Fermat war sein letzter klassischer Vertreter.

An Stelle des sinnlichen Elements der konkreten Strecke und Fläche -- dem spezifischen Ausdruck +antiken+ Grenzgefühls -- tritt das abstrakt-räumliche, mithin unantike Element des +Punktes+, der von nun an als Gruppe zugeordneter reiner Zahlen charakterisiert wird. Descartes hat den literarisch ererbten Begriff der Größe, der sinnlichen Dimension, zerstört und durch den veränderlichen Beziehungswert der Lagen im Raume ersetzt. Daß dies aber eine +Beseitigung der Geometrie überhaupt+ war, die von nun an innerhalb der Zahlenwelt der Analysis nur noch ein durch antike Reminiszenzen verschleiertes Scheindasein führt, hat man übersehen. Das Wort Geometrie hat einen nicht zu beseitigenden apollinischen Sinn. Von Descartes an ist die vermeintlich „neuere Geometrie“ entweder ein synthetischer Prozeß, welcher die +Lage von Punkten+ in einem nicht mehr notwendig dreidimensionalen Raume (einer „Punktmannigfaltigkeit“) durch Zahlen, oder ein analytischer, welcher Zahlen durch die Lage von Punkten bestimmt. Strecken durch Lagen ersetzen heißt den Begriff der Ausdehnung rein räumlich, nicht mehr körperhaft fassen.

Das klassische Beispiel für diese Zerstörung der als Erbschaft überkommenen optisch-endlichen Geometrie scheint mir die Umkehrung der Winkelfunktionen -- welche in einem uns kaum erreichbaren Sinne Zahlen der indischen Mathematik gewesen waren -- in cyklometrische Funktionen und weiterhin deren Auflösung in Reihen zu sein, die im unendlichen Zahlenbereich der algebraischen Analysis auch die leiseste Erinnerung an geometrische Gebilde im Stile Euklids verloren haben. Die Kreiszahl π erzeugt wie die Basis der natürlichen Logarithmen e in diesem ganzen Zahlenbereich, überall auftauchend, Beziehungen, die alle Grenzen der ehemaligen Geometrie, Trigonometrie, Algebra auslöschen, die weder arithmetischer noch geometrischer Natur sind -- und bei denen niemand mehr an wirklich gezeichnete Kreise oder zu berechnende Potenzen denkt.

Während die antike Seele durch Pythagoras um 540 zur Konzeption +ihrer+, der apollinischen Zahl als einer meßbaren Größe gelangt war, fand die Seele des Abendlandes durch Descartes und seine Generation (Pascal, Fermat, Desargues) im genau entsprechenden Zeitpunkte die Idee einer Zahl, die aus dem leidenschaftlichen +faustischen+ Hange zum Unendlichen geboren war. Die Zahl als +reine Größe+, die sich an die körperliche Gegenwart des Einzeldinges heftet, findet ihr Gegenstück in der Zahl als +reiner Beziehung+. Darf die antike Welt, der Kosmos, aus jenem tiefen Bedürfnis nach sichtbarer Begrenztheit als abzählbare Summe von stofflichen Dingen definiert werden, so hat sich +unser+ Weltgefühl im Bilde eines unendlichen Raumes verwirklicht, in dem alles Sichtbare als etwas Bedingtes dem Unbedingten gegenüber, beinahe als eine Wirklichkeit zweiten Ranges empfunden wird. +Sein+ Symbol ist der entscheidende, in keiner andern Kultur angedeutete Begriff der +Funktion+. Die Funktion ist nichts weniger als die Erweiterung irgendeines vorhandenen Zahlbegriffs; sie ist deren völlige Überwindung. Nicht nur die euklidische, d. h. die allgemein menschliche, populäre Geometrie, sondern auch die archimedische Sphäre des elementaren Rechnens, die Arithmetik, hört damit auf, für die wirklich +bedeutende+ Mathematik Westeuropas zu existieren. Es gibt nur noch eine abstrakte Analysis. Für den antiken Menschen waren Geometrie und Arithmetik wissenschaftliche Komplexe vom höchsten Range, beide anschaulich, beide mit Größen zeichnerisch oder rechnerisch verfahrend; für uns sind sie nur noch praktische Hilfsmittel des alltäglichen Lebens. Addition und Multiplikation, die beiden antiken Methoden der Größenrechnung und Schwestern der zeichnerischen Konstruktion, verschwinden völlig in der Unendlichkeit funktionaler Prozesse. Gerade die Potenz, die zunächst prinzipiell nur ein Zahlzeichen für eine bestimmte Gruppe von Multiplikationen (für Produkte gleicher Größen) ist, wird durch das neue Symbol des Exponenten (Logarithmus) und seine Anwendung in komplexen, negativen, gebrochnen Formen vom Größenbegriff gänzlich abgelöst und in eine transzendente Beziehungswelt überführt, die den Griechen, welche nur zwei positive, ganzzahlige Potenzen als Repräsentanten von Flächen und Körpern kannten, unzugänglich bleiben mußte (man denke an Ausdrücke wie e^{-x}, [π]√̅x, a^{1/i}).

Jede der tiefsinnigen Schöpfungen, welche von der Renaissance an rasch aufeinander folgen, die der imaginären und komplexen Zahlen, welche Cardanus schon 1550 einführt, die der unendlichen Reihen, welche durch Newtons große Entdeckung des Binomialsatzes 1666 theoretisch sicher begründet werden, die der Logarithmen um 1610, der Differentialgeometrie, des bestimmten Integrals durch Leibniz, der Menge als neuer Zahleneinheit, von Descartes schon angedeutet, die neuen Prozesse wie die unbestimmte Integration, die Entwicklung der Funktionen in Reihen, sogar in unendliche Reihen andrer Funktionen, sind ebenso viele Siege über das populär-sinnliche Zahlengefühl in uns, das aus dem Geiste der neuen Mathematik heraus, die ein neues Weltgefühl zu verwirklichen hatte, überwunden werden mußte. Es gab bisher keine zweite Kultur, welche den Leistungen einer andern, längst erloschenen, soviel Verehrung entgegentrug und wissenschaftlich so viel Einfluß gestattete, wie die abendländische gerade der antiken. Es dauerte lange, bevor wir den Mut fanden, unser eignes Denken zu denken. Auf dem Grunde lag der beständige Wunsch, es der Antike gleichzutun. Trotzdem war jeder Schritt in diesem Sinne eine tatsächliche Entfernung von dem erstrebten Ideal. Deshalb ist die Geschichte des abendländischen Wissens die einer +fortschreitenden Emanzipation+ von Fremdem, einer Befreiung, die nicht einmal gewollt, die in den Tiefen des Unbewußten erzwungen wurde. +So gestaltete sich die Entwicklung der neuen Mathematik zu einem heimlichen, langen, endlich siegreichen Kampf gegen den Größenbegriff.+

Antikisierende Vorurteile haben uns gehindert, die eigentlich abendländische Zahl als solche in neuer Weise zu bezeichnen. Die gegenwärtige Zeichensprache der Mathematik fälscht den Tatbestand und +ihr+ ist es vor allem zuzuschreiben, daß noch heute auch unter Mathematikern der Glaube herrscht, Zahlen seien Größen -- auf dieser Voraussetzung ruht allerdings unsre schriftliche Bezeichnungsweise.

Aber nicht die zum Ausdruck der Funktion dienenden einzelnen Zeichen (x, π, 5), +die Funktion selbst+ als Einheit, als Element, die variable, in optische Grenzen nicht mehr einzuschließende Beziehung ist die neue Zahl. Für sie wäre, eine neue, in ihrer Struktur nicht von antiken Anschauungen beeinflußte Symbolik nötig gewesen.

Man vergegenwärtige sich den Unterschied zweier Gleichungen -- selbst dies Wort sollte nicht so heterogene Dinge zusammenfassen -- wie 3^x + 4^x = 5^x und x^n + y^n = z^n (die Gleichung des Fermatschen Satzes). Die erste besteht aus mehreren „antiken Zahlen“ (Größen), die zweite +ist eine+ Zahl von einer andern Art, was durch die identische Schreibweise, deren Zeichensprache sich unter dem Eindruck euklidisch-archimedischer Vorstellungen entwickelt hat, verdeckt wird. Im ersten Fall ist das Gleichheitszeichen die Feststellung einer starren Verknüpfung bestimmter, greifbarer Größen; im zweiten repräsentiert es eine Beziehung, die innerhalb einer Gruppe variabler Gebilde besteht, derart, daß gewisse Veränderungen gewisse andere notwendig zur Folge haben. Die erste Gleichung bezweckt die Bestimmung (Messung) einer konkreten Größe, dem „Resultat“, die zweite hat überhaupt kein Resultat, sondern ist nur Abbild und Zeichen einer Beziehung, die für n > 2 -- das ist das berühmte Fermatproblem -- +wahrscheinlich nachweisbar+ ganzzahlige Werte ausschließt. Ein griechischer Mathematiker würde nicht verstanden haben, was man mit Operationen dieser Art, deren Endzweck kein „Ausrechnen“ ist, eigentlich wollte.

Der Begriff der Unbekannten führt vollständig irre, wenn man ihn auf die Buchstaben der Fermatschen Gleichung anwendet. In der ersten, der „antiken“, ist x eine Größe, eine bestimmte und meßbare, die man nur erst zu ermitteln hat. In der zweiten hat für x, y, z, n das Wort „bestimmen“ gar keinen Sinn, folglich will man den „Wert“ dieser Symbole nicht ermitteln, folglich sind sie überhaupt keine Zahlen im plastischen Sinne, sondern Zeichen für einen Zusammenhang, dem die Merkmale der Größe, Gestalt und Eindeutigkeit fehlen, für eine Unendlichkeit möglicher Lagen von gleichem Charakter, die als Einheit begriffen erst die Zahl sind. Die +ganze+ Gleichung ist, in einer Zeichenschrift, die leider viele und irreführende Zeichen verwendet, tatsächlich +eine+ einzige Zahl und x, y, z sind es so wenig, als + und = Zahlen sind.

Denn schon mit dem Begriff der irrationalen, der ganz eigentlich antihellenischen Zahlen ist im tiefsten Grunde der Begriff der konkreten, bestimmten Zahl aufgelöst worden. Von nun an bilden diese Zahlen nicht mehr eine übersehbare Reihe ansteigender, diskreter, plastischer Größen, sondern ein zunächst eindimensionales +Kontinuum+, in welchem jeder Schnitt (im Sinne Dedekinds) eine „Zahl“ repräsentiert, die kaum die alte Bezeichnung führen sollte. Für den antiken Geist gibt es zwischen 1 und 3 nur +eine+ Zahl, für den abendländischen eine unendliche Menge. Mit der Einführung der imaginären (√̅-̅1 = i) und komplexen Zahlen (von der allgemeinen Form a + bi) endlich, welche das lineare Kontinuum zu dem höchst transzendenten Gebilde eines Zahlkörpers (des Inbegriffs einer Menge gleichartiger Elemente) erweitern, in dem nun jeder Schnitt eine Zahlebene -- eine unendliche Menge von geringerer „Mächtigkeit“, etwa den Inbegriff aller reellen Zahlen -- repräsentiert, ist jeder Rest antik-populärer Greifbarkeit zerstört worden. Diese Zahlenebenen, die in der Funktionentheorie seit Cauchy und Gauß eine wichtige Rolle spielen, sind +reine Gedankengebilde+. Selbst die positive irrationale Zahl wie √̅2 konnte aus dem antiken Zahlendenken gewissermaßen wenigstens negativ konzipiert werden, indem man sie als Zahl +ausschloß+ -- als ἄῥῤητος und ἄλογος; Ausdrücke von der Form x + yi liegen aber jenseits aller Möglichkeiten des antiken Denkens. Auf der Ausdehnung der arithmetischen Gesetze auf das ganze Gebiet des Komplexen, innerhalb dessen sie ständig anwendbar bleiben, beruht die Funktionentheorie, welche nun endlich die abendländische Mathematik in ihrer Reinheit darstellt, indem sie alle Einzelgebiete in sich begreift und auflöst. Erst damit wird diese Mathematik auf das Bild der gleichzeitig sich entwickelnden +dynamischen+ Physik des Abendlandes vollkommen anwendbar, während die antike Mathematik das genaue Korrelat jener Welt plastischer Einzeldinge darstellt, welche die +statische+ Physik des Aristoteles, die exakt wissenschaftliche Interpretation des antiken Kosmos schildert.

Das klassische Jahrhundert dieser +Barockmathematik+ -- im Gegensatz zu der +ionischen Stils+ -- ist das 18., das von den entscheidenden Entdeckungen Newtons und Leibnizens über Euler, Lagrange, Laplace, d’Alembert zu Gauß führt. Die Entfaltung dieser mächtigen geistigen Schöpfung geschah wie ein Wunder. Man wagte kaum zu glauben, was man sah. Man fand Wahrheiten über Wahrheiten, die den feinen Geistern eines skeptisch gestimmten Zeitalters unmöglich erschienen. Das Wort d’Alemberts gehört hierher: _Allez en avant et la foi vous viendra._ Es bezog sich auf die Theorie des Differentialquotienten. Die Logik selbst schien Einspruch zu erheben, alle Annahmen auf Fehlern zu beruhen, und man kam doch zum Ziel.

Dies Jahrhundert eines sublimen Rausches in durchgeistigten, dem leiblichen Auge entrückten Formen -- denn neben jenen Meistern der Analysis stehen Bach, Gluck, Haydn, Mozart --, in dem ein kleiner Kreis gewählter und tiefer Geister in den raffiniertesten Entdeckungen und Formspielen schwelgte, von denen Goethe und Kant ausgeschlossen blieben, entspricht seinem Gehalte nach genau dem reifsten Jahrhundert der Ionik, dem des Plato, Archytas und Eudoxos (450-350) -- man muß wieder hinzufügen des Phidias, Polyklet, Alkamenes und der Akropolisbauten --, in welchem die Formenwelt der antiken Mathematik und Plastik in der ganzen Fülle ihrer Möglichkeiten aufblühte und zu Ende kam.

Jetzt erst läßt sich der elementare Gegensatz antiken und abendländischen Seelentums übersehen. Es gibt innerhalb des Gesamtbildes der Geschichte des höheren Menschentums nichts innerlich Fremderes. Und eben deshalb, weil Gegensätze sich berühren, weil sie auf ein vielleicht Gemeinsames in der letzten Tiefe der Existenz verweisen, finden wir in der abendländischen, faustischen Seele jenes sehnsüchtige Suchen nach dem Ideal der apollinischen, die sie allein von allen andern begriffen und um die Kraft ihrer Hingabe an die sinnlich-reine Gegenwart beneidet hat.

Diesen seelischen, nicht weiter in Worte zu fassenden Gegensatz verwirklichen in der Außenwelt des Gewordnen, Begrenzten, Vergänglichen die +historischen Einheiten der antiken und abendländischen Kultur+, von denen die eine in spät-mykenischer Zeit, die andre zur Zeit der Sachsenkaiser aufblühte und die in Aristoteles und Kant, Plato und Goethe, Phidias und Beethoven, Alexander und Napoleon ihre Entwicklung zu Ende führten.

Erst jetzt wird auch das ganze Gewicht einer Symbolik fühlbar, die in der Zahlenwelt beider Mathematiken vielleicht ihren unmittelbarsten Ausdruck gefunden hat, deren Bereich aber weit darüber hinausgeht. Es zeigt sich, daß eine Mathematik mit allen sie begleitenden Künsten, mit allen Schöpfungen des tätigen Lebens überhaupt die gleiche Sprache redet, eine Formensprache, in der sich die letzten Möglichkeiten des Seelischen ebenso offenbaren wie verhüllen. Am engsten sind der Mathematik jene mystischen Architekturen aller Frühzeiten verschwistert, die dorische, gotische, frühchristliche wie die ägyptische des Alten Reiches. Hier, in der ägyptischen Kultur, haben beide Formenwelten sich nie getrennt. Die Architektur der großen Pyramidentempel ist eine schweigende Mathematik, wie denn auch die antike Seele eine Scheidung ihrer statuarischen und geometrischen Symbolik nie streng vollzogen hat. Aber auch die Analysis ist eine Architektur größten Stils geblieben und wir begreifen jetzt, warum zwei Zahlensysteme, von denen die eine die Grenzwerte des +Augenscheins+ ebenso leidenschaftlich bejaht, wie die andere sie verneint, als Schwesterkünste die ionische Plastik und die deutsche Musik, die sinnlichste und die unsinnlichste aller Möglichkeiten künstlerischer Gestaltungskraft, an ihrer Seite finden mußten.

Es war bemerkt worden, daß im Urmenschen wie im Kinde ein inneres Erlebnis, die Geburt des Ich, eintritt, mit dem beide das Phänomen der Zahl begreifen, mithin eine auf das Ich bezogene Umwelt besitzen.

Sobald vor dem erstaunten Blick des frühen Menschen diese ertagende Welt des geordneten Ausgedehnten, des sinnvoll Gewordnen sich in großen Umrissen aus einem Chaos von Eindrücken abhebt und der tief empfundene unwiderrufliche Gegensatz dieser Außenwelt zur eignen Seele dem bewußten Leben Richtung und Gestalt gibt, erwacht zugleich mit allen Möglichkeiten einer neuen Kultur das +Urgefühl der Sehnsucht+ in dieser sich plötzlich ihrer Einsamkeit bewußten Seele. Es ist die Sehnsucht nach dem Ziel des Werdens, nach Vollendung und Verwirklichung alles innerlich Möglichen, nach Entfaltung der Idee des eigenen Daseins. Es ist die Sehnsucht des Kindes, die als das Gefühl einer unaufhaltsamen +Richtung+ mit steigender Deutlichkeit ins Bewußtsein tritt, und später als das +Rätsel der Zeit+ unheimlich, verlockend, unlösbar vor dem gereiften Geiste steht. Die Worte Vergangenheit und Zukunft haben plötzlich eine schicksalsvolle Bedeutung erhalten.

Aber diese Sehnsucht aus der Überfülle und Seligkeit des innern Werdens ist in der tiefsten Tiefe einer jeden Seele zugleich +Angst+. Wie alles Werden sich auf ein Gewordensein richtet, mit dem es +endet+, so rührt das Urgefühl des Werdens, die Sehnsucht, schon an das andre des Gewordenseins, die Angst. In der Gegenwart fühlt man das Verrinnen; in der Vergangenheit liegt die Vergänglichkeit. Hier ist die Wurzel der ewigen Angst vor dem Unwiderruflichen, Erreichten, Endgültigen, vor der Vergänglichkeit, vor der Welt selbst als dem Verwirklichten, in dem mit der Grenze der Geburt zugleich die des Todes gesetzt ist, die Angst vor dem Augenblicke, wo das Mögliche verwirklicht, das Leben innerlich erfüllt und vollendet ist, wo das Bewußtsein am +Ziele+ steht. Es ist jene tiefe Weltangst der Kinderseele, welche den höheren Menschen, den Gläubigen, den Dichter, den Künstler in seiner grenzenlosen Vereinsamung niemals verläßt, die Angst vor den fremden Mächten, die groß und drohend, in sinnliche Erscheinungen verkleidet, in die ertagende Welt hineinragen. Auch die Richtung in allem Werden wird in ihrer Unerbittlichkeit -- +Nichtumkehrbarkeit+ -- als ein fremdes Element mit innerster Gewißheit empfunden. Es ist etwas Fremdes, das Zukunft in Vergangenheit verwandelt, und dies gibt der Zeit im Gegensatz zum Raum jenes widerspruchsvoll Unheimliche und drückend Zweideutige, dessen sich kein bedeutender Mensch ganz erwehren kann.

Die Weltangst ist sicherlich das +Schöpferischste+ aller Urgefühle. Ihr verdankt ein Mensch die reifsten und tiefsten aller Formen und Gestalten nicht nur des bewußten Innenlebens, sondern auch seiner Spiegelung in den zahllosen Bildungen äußerer Kultur. Wie eine geheime Melodie, nicht jedem vernehmbar, geht die Angst durch die Formensprache eines jeden wahren Kunstwerkes, jeder innerlichen Philosophie, jeder bedeutenden Tat und sie liegt, nur den wenigsten noch fühlbar, den großen Problemen jeder Mathematik zugrunde. Nur der innerlich erstorbene Mensch der großen späten Städte, des ptolemäischen Alexandria oder des heutigen Paris und Berlin, nur der rein intellektuelle Sophist, Sensualist und Darwinist verliert oder verleugnet sie, indem er eine geheimnislose „wissenschaftliche Weltanschauung“ zwischen sich und das Fremde stellt.

Knüpft sich die Sehnsucht an jenes unfaßliche Etwas, dessen tausend ungreifbare, proteusartig wechselnde Bildungen durch das Wort Zeit mehr verdeckt als bezeichnet werden, so findet das Urgefühl der Angst seinen Ausdruck in den geistigen, faßlichen, der Gestaltung fähigen Symbolen der +Ausdehnung+. So finden sich im wachen Bewußtsein jeder Kultur, in jeder anders geartet, die Gegenformen der Zeit und des Raumes, der Richtung und der Ausdehnung, jene dieser zugrunde liegend, wie das Werden dem Gewordnen -- denn auch die Sehnsucht liegt der Angst zugrunde; +sie wird+ zur Angst, nicht umgekehrt -- jene der geistigen Macht entzogen, diese ihr dienend, jene nur zu +erleben+, diese nur zu +erkennen+. „Gott fürchten +und+ lieben“ ist der christliche Ausdruck für den Gegensinn beider Weltgefühle.

Aus der Seele des gesamten Urmenschentums und also auch der frühesten Kindheit erhebt sich der Drang, das Element der fremden Mächte, die in allem Ausgedehnten, im Raume und +durch+ den Raum unerbittlich gegenwärtig sind, zu bannen, zu zwingen, zu versöhnen -- zu „erkennen“. Im letzten Grunde ist dies dasselbe. +Gott erkennen+ heißt in der Mystik aller frühen Zeiten ihn beschwören, ihn sich geneigt machen, ihn sich innerlich +aneignen+. Das geschieht durch ein Wort, den „Namen“, mit dem man das _numen_ benennt +anruft+, oder durch die Formen eines Kultes, denen eine geheime Kraft innewohnt. Die Ideen der deutschen wie der orientalischen Mystiker, die Entstehung aller antiken Götter, aller Kulte lassen keinen Zweifel darüber zu. Wirkliche Erkenntnis ist geistige Einverleibung des Fremden. Diese +Abwehr+ ist die erste schöpferische Tat jedes erwachten Seelentums. Mit ihr beginnt ganz eigentlich das höhere Innenleben einer Kultur oder eines Einzelnen. Erkenntnis, Grenzsetzung durch Begriffe und Zahlen, ist die feinste, aber auch die mächtigste Form dieser Abwehr. Insofern wird der Mensch erst durch die +Sprache+ ganz zum Menschen. Die Erkenntnis verwandelt mit unbezwinglicher Notwendigkeit das Chaos der ursprünglichen, umgebenden +Eindrücke+ in den Kosmos, den Inbegriff seelischen +Ausdrucks+, die „Welt an sich“ in die „Welt für uns“.[28] Sie stillt die Weltangst, indem sie das Fremde, Geheimnisvolle bändigt, es zur faßlichen, geordneten Wirklichkeit gestaltet, es durch die ehernen Regeln einer eignen, ihm aufgeprägten intellektuellen Formensprache fesselt.

Dies ist die +Idee des „tabu“+, das im Seelenleben aller primitiven Völker eine entscheidende Rolle spielt, dessen urmenschlicher Gehalt aber uns so fern liegt, daß das Wort in keine reife Kultursprache mehr übertragbar ist. Ihm liegt ein ursprüngliches Gefühl, +vor+ allem Erkennen und Begreifen der Umwelt, ja vor allem klaren, in Seele und Welt geschiednen Bewußtsein zugrunde, das unter uns Heutigen, intellektuellen Weltstädtern, nur Kindern und wenigen künstlerischen Naturen noch zugänglich ist. Ratlose Angst, heilige Scheu, tiefe Verlassenheit, Schwermut, Haß, dunkle Wünsche nach Annäherung, Vereinigung, Entfernung, all diese formvollen Gefühle +gereifter+ Seelen vorschweben in diesem frühen Zustande in einer dumpfen Unentschiedenheit. Der Doppelsinn des Wortes Beschwören, das bezwingen und anflehen zugleich bedeutet, kann den Sinn jenes mystischen Aktes verdeutlichen, durch den der frühe Mensch das Fremde und Gefürchtete „tabu“ macht. Die ehrfürchtige Scheu vor allem von ihm Unabhängigen, Gesetzten, Gesetzlichen, den fremden Mächten in der Welt, +ist der Ursprung aller und jeder elementaren Form+. In Urzeiten verwirklicht sie sich in hieratischen Ornamenten und peinlichen Zeremonien, strengen Satzungen einer primitiven Sitte und seltsamen Kulten. Auf der Höhe großer Kulturen sind diese Gestaltungen, ohne innerlich die Merkmale ihrer Herkunft, den Charakter einer Bannung und Beschwörung verloren zu haben, zu den vollendeten Formenwelten der einzelnen Künste, des religiösen, logischen, mathematischen Denkens, des wirtschaftlichen, politischen, sozialen, individuellen Daseins aufgewachsen. Ihr gemeinsames Mittel, das einzige, welches die sich verwirklichende Seele kennt, ist die +Symbolisierung des Ausgedehnten+, des Raumes oder der Dinge -- sei es in den Konzeptionen des absoluten Weltraumes der Physik Newtons, der Innenräume gotischer Dome und maurischer Moscheen, der atmosphärischen Unendlichkeit der Gemälde Rembrandts und ihrer Wiederkehr in den dunklen Tonwelten Beethovenscher Quartette, seien es die regelmäßigen Polyeder Euklids, die Parthenonskulpturen oder die Pyramiden Altägyptens, das Nirwana Buddhas, die Distanz höfischer Sitte unter Sesostris, Justinian I. und Ludwig XIV., sei es endlich die Gottesidee Homers, Plotins, Dantes oder die den Erdball umspannende Raumenergie der heutigen Technik.

Kehren wir zur Mathematik zurück. Der Ausgangspunkt aller antiken Formgebung war, wie wir sahen, die Ordnung des Gewordnen, insofern es sinnlich, gegenwärtig, greifbar, meßbar, zählbar ist. Das abendländische, gotische Formgefühl, das einer einsamen, in alle Fernen schweifenden Seele, hat das Zeichen des reinen, unanschaulichen, grenzenlosen Raumes gewählt. Man täusche sich ja nicht über die +enge Bedingtheit+ solcher Symbole, die uns leicht als identisch, als allgemeingültig erscheinen. Unser unendlicher Weltraum, über dessen Vorhandensein, wie es scheint, kein Wort zu verlieren ist, ist für den antiken Menschen +nicht+ vorhanden. Er ist ihm nicht einmal vorstellbar. Der hellenische Kosmos andrerseits, dessen tiefe Fremdheit für unsre Auffassungsweise nicht so lange hätte unbemerkt bleiben sollen, ist dem Hellenen +das+ Selbstverständliche. In der Tat ist der absolute Raum unserer Physik eine Form, die allein aus +unserm+ Seelentum als dessen Abbild und Ausdruck entstanden und allein für unsre Art des wachen Daseins wirklich, notwendig und natürlich ist. Die gesamte Mathematik von Descartes an dient der theoretischen Interpretation dieses großen, von religiösem Gehalte erfüllten Symbols. Die Physik will seit Galilei nichts andres. Die antike Mathematik und Physik +kennen+ dies Objekt überhaupt nicht.

Auch hier haben antike Namen, die wir aus der literarischen Erbschaft der Griechen beibehalten haben, den Tatbestand verschleiert. Geometrie heißt die Kunst des Messens, Arithmetik die des Zählens. Die Mathematik des Abendlandes hat mit diesen +beiden+ Arten des Begrenzens nichts mehr zu tun, aber sie hat keinen neuen Namen für sich gefunden. Das Wort Analysis sagt bei weitem nicht alles.

Der antike Mensch beginnt und schließt seine Erwägungen mit dem einzelnen Körper und seinen Grenzflächen. +Wir+ kennen im Grunde nur das abstrakte Raumelement des Punktes, das, ohne Anschaulichkeit, ohne die Möglichkeit einer Messung und Benennung, lediglich ein Beziehungszentrum repräsentiert. Die Gerade ist für den Griechen eine meßbare Kante, für uns ein unbegrenztes Punktkontinuum. Leibniz führt als Beispiel für sein Infinitesimalprinzip die Gerade an, die den Grenzfall eines Kreises mit unendlich großem Radius darstellt, während der Punkt den andern Grenzfall bildet. +So wurde die Quadratur des Kreises das klassische Grenzproblem für den Geist antiker Menschen.+ Das schien ihnen das tiefste aller Geheimnisse der Weltform: krummlinig begrenzte Flächen bei unveränderter Größe in Rechtecke zu verwandeln und dadurch +meßbar+ zu machen. Für uns ist daraus das wenig bedeutende Verfahren geworden, die Zahl π durch algebraische Mittel darzustellen, ohne daß dabei von geometrischen Gebilden überhaupt die Rede wäre.

Der antike Mathematiker kennt nur das, was er sieht und greift. Wo die begrenzte, begrenzende Sichtbarkeit, das Thema seiner Gedankengänge, aufhört, findet seine Wissenschaft ein Ende. Der abendländische Mathematiker begibt sich, sobald er von antiken Vorurteilen frei sich selbst gehört, in die gänzlich abstrakte Region einer unendlichen Zahlenmannigfaltigkeit von n -- nicht mehr von 3 -- Dimensionen, innerhalb deren +seine+ sogenannte Geometrie jeder anschaulichen Hilfe entbehren kann und meistens muß. Greift der antike Mensch zu künstlerischem Ausdruck seines Formgefühls, so sucht er dem menschlichen Körper in Tanz und Ringkampf, in Marmor und Bronze diejenige Haltung zu geben, in der Flächen und Konturen ein Maximum von Maß und Sinn haben. Der echte Künstler des Abendlandes aber schließt die Augen und verliert sich in den Bereich einer körperlosen Musik, in dem Harmonie und Polyphonie zu Bildungen von höchster „Jenseitigkeit“ führen, die weitab von allen Möglichkeiten optischer Bestimmung liegen. Man denke daran, was ein athenischer Bildhauer und was ein nordischer Kontrapunktist unter einer +Figur+ versteht, und man hat den Gegensatz beider Welten, beider Mathematiken vor sich. Die griechischen Mathematiker gebrauchen sogar das Wort σῶμα für Körper. Andrerseits verwendet es die Rechtssprache für Person im Gegensatz zur Sache (σώματα καὶ πράγματα: personae et res).

Deshalb sucht das Phänomen der antiken, ganzen, körperlichen Zahl unwillkürlich eine Beziehung zur Entstehung des leiblichen Menschen, des σῶμα. Die Zahl 1 wird noch kaum als wirkliche Zahl empfunden. Sie ist die ἀρχή, der Urstoff der Zahlenreihe, der Ursprung aller eigentlichen Zahlen und damit aller Größe, allen Maßes, aller Dinglichkeit. Ihr Zahlzeichen war im Kreise der Pythagoräer, gleichviel zu welcher Zeit, zugleich das Symbol des Mutterschoßes, des Ursprungs alles Lebens. Die 2, die erste +eigentliche+ Zahl, welche die 1 verdoppelt, erhielt deshalb eine Beziehung zum männlichen Prinzip, und ihr Zeichen war eine Nachbildung des Phallus. Die +heilige Drei+ der Pythagoräer endlich bezeichnete den Akt der Vereinigung von Mann und Weib, der Zeugung --, die erotische Deutung der beiden +einzigen+ der Antike wertvollen Prozesse der Größenvermehrung, der +Größenzeugung+, Addition und Multiplikation, ist leicht verständlich -- und ihr Zeichen war die Vereinigung der beiden ersten. Von hier aus fällt ein neues Licht auf den erwähnten +Mythus+ vom Frevel der Aufdeckung des Irrationalen. Das Irrationale, in unsrer Ausdrucksweise die Verwendung der unendlichen Dezimalbrüche, bedeutete eine Zerstörung der organisch-leiblichen, zeugenden Ordnung, welche durch die Götter gesetzt war. Es ist kein Zweifel, daß die pythagoräische Reform der antiken Religion den uralten Demeterkult wieder zugrunde legte. Demeter ist der Gaia, der mütterlichen Erde verwandt. Es besteht eine tiefe Beziehung zwischen ihrer Verehrung und dieser erhabenen Auffassung der Zahlen.

So ist die Antike mit innerer Notwendigkeit allmählich die Kultur des +Kleinen+ geworden. Die apollinische Seele hatte den Sinn des Gewordnen durch das Prinzip der +übersehbaren+ Grenze zu bannen gesucht; ihr „tabu“ richtete sich auf die unmittelbare Gegenwart und Nähe des Fremden. Was weit fort, was nicht sichtbar war, war auch nicht da. Der Grieche wie der Römer opferte den Göttern der Gegend, in der er sich aufhielt; alle andern entschwanden seinem Gesichtskreis. Wie die griechische Sprache +kein Wort für den Raum besaß+ -- wir werden die gewaltige Symbolik solcher Sprachphänomene immer wieder verfolgen --, so fehlt dem Griechen auch unser Landschaftsgefühl, das Gefühl für Horizonte, Ausblicke, Fernen, Wolken, auch der Begriff des Vaterlandes, das sich weithin erstreckt und eine große Nation umfaßt. +Heimat+ ist dem antiken Menschen, was er von der Burg seiner Vaterstadt aus übersehen kann, nicht mehr. Was jenseits dieser optischen Grenze eines politischen Atoms lag, war fremd, war sogar feindlich. Hier schon beginnt die Angst des antiken Daseins und dies erklärt die furchtbare Erbitterung, mit der diese winzigen Städte einander vernichteten. Die Polis ist die kleinste aller denkbaren Staatsformen und ihre Politik die ausgesprochene Politik der Nähe, sehr im Gegensatz zu unserer Kabinettsdiplomatie, der Politik des Grenzenlosen. Der antike Tempel, mit +einem+ Blick zu umfassen, ist der kleinste aller klassischen Bautypen. Die Geometrie von Archytas bis auf Euklid beschäftigt sich -- wie es die unter ihrem Eindruck stehende Schulgeometrie noch heute tut -- mit kleinen, handlichen Figuren und Körpern und so blieben ihr die Schwierigkeiten verborgen, welche bei der Zugrundelegung von Figuren mit astronomischen Dimensionen auftauchen und die Anwendung der euklidischen Geometrie nicht mehr überall gestatten.[29] Andernfalls hätte der feine attische Geist vielleicht schon damals etwas von dem Problem der nichteuklidischen Geometrien geahnt, denn die Einwände gegen das bekannte Parallelenaxiom,[30] dessen zweifelhafte und doch nicht zu verbessernde Fassung schon früh Anstoß erregte, rührten nahe an die entscheidende Entdeckung. So selbstverständlich dem antiken Sinn die ausschließliche Betrachtung des Nahen und Kleinen, so selbstverständlich ist dem unsern die des Unendlichen, die Fähigkeiten des Auges Überschreitenden. Alle mathematischen Ansichten, welche das Abendland entdeckte oder entlehnte, wurden mit tiefster Notwendigkeit der Formensprache des Infinitesimalen unterworfen und das, lange bevor die eigentliche Differentialrechnung entdeckt worden war. Arabische Algebra, indische Trigonometrie, antike Mechanik werden ohne weiteres der Analysis einverleibt. Gerade die „evidentesten“ Sätze des elementaren Rechnens -- daß etwa 2 × 2 = 4 ist -- werden, aus analytischen Gesichtspunkten betrachtet, zu Problemen, deren Lösung erst durch Ableitungen aus der Mengenlehre und in vielen Einzelheiten überhaupt noch nicht gelungen ist, -- was Plato und seiner Zeit sicherlich als Wahnsinn und Beweis eines völligen Mangels an mathematischer Begabung erschienen wäre.

Man kann gewissermaßen die Geometrie algebraisch oder die Algebra geometrisch behandeln, das heißt das Auge ausschalten oder herrschen lassen. Das erste haben wir, das andre die Griechen getan. Archimedes, der in seiner schönen Berechnung der Spirale gewisse allgemeine Tatsachen berührt, die auch der Methode des bestimmten Integrals bei Leibniz zugrunde liegen, ordnet sein bei oberflächlicher Betrachtung höchst modern wirkendes Verfahren sofort stereometrischen Prinzipien unter; ein Inder hätte im gleichen Falle mit Selbstverständlichkeit etwa eine trigonometrische Formulierung gefunden. (Was von der uns bekannten indischen Mathematik altindisch, das heißt vor Buddha entstanden ist, läßt sich heute nicht mehr feststellen.)

Aus dem fundamentalen Gegensatz antiker und abendländischer Zahlen entspringt ein ebenso tiefgehender des Verhältnisses, in dem die Elemente jedes dieser Komplexe untereinander stehen. Das Verhältnis von +Größen+ heißt +Proportion+, das von +Beziehungen+ ist im Wesen der +Funktion+ enthalten. Beide Worte haben, über den Bereich der Mathematik hinausgehend, höchste Bedeutung für die Technik der beiden zugehörigen Künste, Plastik und Musik. Sieht man ganz von dem Sinn ab, den das Wort Proportion für die Gliederung der +einzelnen+ Statue hat, so sind es die typisch antiken Kunstwerke, Statue, Relief und Fresko, welche eine +Vergrößerung+ und +Verkleinerung+ des Maßstabes gestatten -- Worte, die für die Musik, die Kunst des Grenzenlosen, keinen Sinn haben. Man denke an die Kunst der Gemmen, deren Gegenstände im wesentlichen Verkleinerungen lebensgroßer Plastiken waren. Innerhalb der Funktionentheorie dagegen ist der Begriff der +Transformation von Gruppen+ von entscheidender Bedeutung, und der Musiker wird bestätigen, daß analoge Bildungen einen wesentlichen Teil der neueren Kompositionslehre ausmachen. Ich erinnere nur an eine der feinsten instrumentalen Formen des 18. Jahrhunderts, das „tema con variazioni“.

Jede Proportion setzt die Konstanz, jede Transformation die Variabilität der Elemente voraus: man vergleiche hier die Kongruenzsätze bei Euklid, deren Beweis tatsächlich auf dem vorliegenden Verhältnis 1 : 1 beruht, mit deren moderner Ableitung mit Hilfe der Winkelfunktionen.

Die +Konstruktion+ -- die im weiteren Sinne alle Methoden der elementaren Arithmetik einschließt -- ist das A und O der antiken Mathematik: die Herstellung eines einzelnen und sichtbar vorliegenden Objekts. Der Zirkel ist der Meißel dieser zweiten bildenden Kunst. Die Arbeitsweise bei funktionstheoretischen Untersuchungen, deren Zweck kein Resultat vom Charakter einer Größe, sondern die Diskussion allgemeiner formaler Möglichkeiten ist, läßt sich als eine Art Kompositionslehre von naher Verwandtschaft zur musikalischen bezeichnen. Eine ganze Reihe von Begriffen der Musiktheorie ließe sich ohne weiteres auf analytische Operationen auch der Physik anwenden -- Tonart, Phrasierung, Chromatik und andere -- und es ist die Frage, ob nicht manche Beziehungen dadurch an Übersichtlichkeit gewinnen würden.

Jede +Konstruktion+ bejaht, jede +Operation+ verneint den Augenschein, indem jene das optisch Gegebene herausarbeitet, diese es auflöst. So erscheint ein weiterer Gegensatz in den beiden Arten des mathematischen Verfahrens: die antike Mathematik des Kleinen betrachtet den konkreten +Einzelfall+, berechnet die +bestimmte+ Aufgabe, führt die +einmalige+ Konstruktion aus. Die Mathematik des Unendlichen behandelt +ganze Klassen+ formaler Möglichkeiten, +Gruppen+ von Funktionen, Operationen, Gleichungen, Kurven, und zwar überhaupt nicht hinsichtlich irgendeines Resultates, sondern hinsichtlich ihres Verlaufes. Es ist so seit zwei Jahrhunderten -- was den Mathematikern der Gegenwart kaum zum Bewußtsein kommt -- die +Idee einer allgemeinen Morphologie mathematischer Operationen+ entstanden, welche man als den eigentlichen Sinn der gesamten neueren Mathematik bezeichnen darf. Es offenbart sich hier eine umfassende Tendenz abendländischer Geistigkeit überhaupt, die im folgenden immer deutlicher werden wird, eine Tendenz, die ausschließlich Eigentum des faustischen Geistes und seiner Kultur ist und in keiner andern verwandte Absichten findet. Die große Mehrzahl der Fragen, welche unsere Mathematik als deren eigenste Probleme beschäftigen -- der Quadratur des Kreises bei den Griechen entsprechend -- wie die Untersuchung der Konvergenzkriterien unendlicher Reihen (Cauchy) oder die Umkehrung elliptischer und allgemein algebraischer Integrale zu mehrfach periodischen Funktionen (Abel, Gauß) wäre den „Alten“, die einfache bestimmte Größen als Resultate suchten, vermutlich als eine geistreiche, etwas abstruse Spielerei erschienen -- was dem populären Urteil weiter Kreise auch heute durchaus entsprechen würde. Es gibt nichts Unpopuläreres als die moderne Mathematik, und auch darin liegt ein Stück Symbolik der unendlichen Ferne, der +Distanz+. +Alle+ großen Werke des Abendlandes von Dante bis zum Parsifal sind unpopulär, alle antiken von Homer bis zum pergamenischen Altar sind populär im höchsten Grade.

Und so sammelt sich endlich der ganze Gehalt des abendländischen Zahlendenkens in +einem+ klassischen Problem, das den Schlüssel zu jenem schwer zugänglichen Begriff des Unendlichen -- des +faustisch Unendlichen+ -- bildet, welches von der Unendlichkeit des arabischen und indischen Weltgefühls weit entfernt bleibt. Es handelt sich um die +Theorie des Grenzwertes+, möge die Zahl im einzelnen als unendliche Reihe, Kurve oder Funktion enger gefaßt sein. Dieser Grenzwert ist das strengste Gegenteil des antiken, bisher nicht so genannten, der sich in einer starr begrenzten Fläche von meßbarer Größe darstellt. Bis ins 18. Jahrhundert haben euklidisch-populäre Vorurteile den Sinn des Differentialprinzips verdunkelt. Mag man den zunächst naheliegenden Begriff des unendlich Kleinen noch so vorsichtig anwenden, es haftet ihm ein leises Moment antiker Konstanz an, der +Anschein+ einer Größe, wenn auch Euklid sie als solche nicht erkannt, anerkannt haben würde. Die Null ist eine Konstante, eine ganze Zahl im linearen Kontinuum zwischen +1 und -1; es hat Eulers analytischen Untersuchungen geschadet, daß er -- wie viele nach ihm -- die Differentiale für Nullen hielt. Erst der von Cauchy endgültig aufgeklärte Begriff des +Grenzwertes+ beseitigt diesen Rest antiken Zahlengefühls und macht die Infinitesimalrechnung zu einem widerspruchslosen System. Erst der Schritt von der „unendlich kleinen Größe“ zu dem „untern Grenzwert +jeder möglichen+ endlichen Größe“ führt zur Konzeption einer veränderlichen Zahl, die unterhalb jeder von Null verschiedenen endlichen Größe sich bewegt, selbst also nicht den geringsten Zug einer Größe mehr trägt. Der Grenzwert in dieser endgültigen Fassung ist überhaupt nicht mehr das, was angenähert +wird+. Er +stellt die Annäherung -- den Prozeß, die Operation -- selbst dar. Er ist kein Zustand, sondern ein Verhalten.+ Hier, im entscheidenden Problem der abendländischen Mathematik, verrät sich plötzlich, daß unser Seelentum ein +historisch+ angelegtes ist.[31]

Die Geometrie von der Anschauung, die Algebra vom Begriff der Größe zu befreien und beide jenseits der elementaren Schranken von Konstruktion und Rechnung zu dem mächtigen Gebäude der Funktionstheorie zu vereinigen, das war der große Weg des abendländischen Zahlendenkens. So wurde die antike, konstante Zahl zur veränderlichen aufgelöst. Die analytisch +gewordene+ Geometrie löste alle konkreten Formen auf. Sie ersetzt den mathematischen Körper, an dessen starrem Bilde geometrische Werte gefunden werden, durch abstrakt räumliche Beziehungen, die zuletzt auf Tatsachen der sinnlich-gegenwärtigen Anschauungen überhaupt nicht mehr anwendbar sind. Sie ersetzt zunächst die optischen Gebilde Euklids durch geometrische Örter in bezug auf ein Koordinatensystem, dessen Anfangspunkt willkürlich gewählt werden kann, und reduziert das gegenständliche Dasein des geometrischen Objekts auf die Forderung, daß während der Operation, die sich nicht mehr auf Messungen, sondern auf Gleichungen richtet, das gewählte System nicht verändert werden darf. Alsbald werden aber die Koordinaten nur noch als reine Werte aufgefaßt, welche die Lage der Punkte als abstrakter Raumelemente nicht sowohl bestimmen, als repräsentieren und ersetzen. Die Zahl, die Grenze des Gewordnen, wird nicht mehr durch das Bild einer Figur, sondern durch das Bild einer Gleichung symbolisch dargestellt. Die „Geometrie“ kehrt ihren Sinn um: das Koordinatensystem als Bild verschwindet, und der Punkt ist nunmehr eine vollkommen abstrakte Zahlengruppe. Wie die Architektur der Renaissance durch die konstruktiven Neuerungen Michelangelos und Vignolas in die des Barock übergeht -- das ist das genaue Abbild dieser innern Wandlung der Analysis. An den Palast- und Kirchenfassaden werden die sinnlich reinen Linien unwirklich. An Stelle der klaren Koordinaten florentinisch-römischer Säulenstellungen und Geschoßgliederungen tauchen die „infinitesimalen“ Elemente geschwungener, flutender Bauteile, Voluten, Kartuschen auf. Die Konstruktion verschwindet in der Fülle des Dekorativen -- mathematisch gesprochen des Funktionalen; Säulen und Pilaster, in Gruppen und Bündel zusammengefaßt, durchziehen ohne Ruhepunkte für das Auge die Fronten, sammeln und zerstreuen sich; die Flächen der Wände, Decken, Geschosse lösen sich in der Flut von Stukkaturen und Ornamenten auf, verschwinden und zerfallen unter farbigen Lichtwirkungen. Das Licht aber, das nun über dieser Formwelt des reifen Barock spielt -- von Bernini um 1650 an bis zum Rokoko in Dresden, Wien, Paris --, ist ein rein musikalisches Element geworden. Der Dresdner Zwinger ist eine +Sinfonie+. Mit der Mathematik hat sich im 18. Jahrhundert auch die Architektur zu einer Formenwelt von +musikalischem+ Charakter entwickelt.

Auf dem Wege dieser Mathematik mußte endlich der Augenblick auftreten, wo nicht nur die Grenzen künstlicher geometrischer Gebilde, sondern die Grenzen des Sehsinnes überhaupt seitens der Theorie wie der Seele selbst in ihrem Drange nach rückhaltlosem Ausdruck ihrer innern Möglichkeiten als Grenzen, als Hindernis empfunden wurden, wo also das Ideal transzendenter Ausgedehntheit zu den beschränkten Möglichkeiten des unmittelbaren Augenscheins in grundsätzlichen Widerspruch trat. Die antike Seele, welche mit der vollen Hingabe der platonischen und stoischen ἀταραξία das Sinnliche gelten und walten ließ und ihre großen Symbole, wie es der erotische Hintersinn der pythagoräischen Zahlen beweist, +eher empfing als gab+, konnte auch das körperliche +Jetzt+ und +Hier+ niemals überschreiten wollen. Hatte sich aber die pythagoräische Zahl im Wesen +gegebener+ Einzeldinge in der +Natur+ offenbart, so war die Zahl des Descartes und der Mathematiker nach ihm etwas, das +erobert+ und +erzwungen+ werden mußte, eine herrische abstrakte Beziehung, unabhängig von aller sinnlichen Gegebenheit und jederzeit bereit, diese Unabhängigkeit der Natur gegenüber geltend zu machen. Der Wille zur Macht -- um Nietzsches große Formel zu gebrauchen --, der von der frühesten Gotik der Edda, der Kathedralen und Kreuzzüge, ja von den erobernden Wikingern und Goten an das Verhalten der nordischen Seele ihrer Welt gegenüber bezeichnet, liegt auch in dieser Energie der abendländischen Zahl gegenüber der Anschauung. +Das+ ist „Dynamik“. In der apollinischen Mathematik dient der Geist dem Auge, in der faustischen überwindet er es.

Der mathematische, „absolute“, so gänzlich unantike Raum selbst war von Anfang an, was die Mathematik in ihrer Ehrfurcht vor hellenischen Traditionen nicht zu bemerken wagte, nicht die vage Räumlichkeit der täglichen Eindrücke, der landläufigen Malerei, der vermeintlich so eindeutigen und gewissen apriorischen Anschauung Kants, sondern ein reines Abstraktum, ein ideales und unerfüllbares Postulat einer Seele, der die Sinnlichkeit als Mittel des Ausdruckes immer weniger genügte und die sich endlich leidenschaftlich von ihr abwandte. Das +innere+ Auge erwachte.

Jetzt erst mußte es tiefen Denkern fühlbar werden, daß die euklidische Geometrie, die +einzige+ und +richtige+ für den naiven Blick aller Zeiten, von diesem hohen Standpunkt aus betrachtet nichts als eine +Hypothese+ ist, deren Alleingültigkeit gegenüber anderen, auch ganz unanschaulichen Arten von Geometrien, wie wir seit Gauß bestimmt wissen, sich niemals beweisen läßt, von der vielberufenen „Übereinstimmung“ mit der Wirklichkeit, diesem Laiendogma, das durch jeden Blick in die Ferne -- wo alle Parallelen einander berühren -- widerlegt wird, zu schweigen. Der Kernsatz dieser Geometrie, das Parallelenaxiom Euklids, ist eine +Behauptung+, die sich durch andere ersetzen läßt, daß es nämlich durch einen Punkt zu einer Geraden keine, zwei oder viele Parallelen gibt, Behauptungen, die sämtlich zu vollkommen widerspruchslosen dreidimensionalen geometrischen Systemen führen, die in der Physik und vor allem der Astronomie angewendet werden können und zuweilen den euklidischen vorzuziehen sind.

Schon die einfache Forderung der Unbegrenztheit des Ausgedehnten -- die man seit Riemann und dessen Theorie unbegrenzter, aber infolge ihrer Krümmung nicht unendlicher Räume eben von der Unendlichkeit zu scheiden hat -- widerspricht dem eigentlichen Charakter aller unmittelbaren Anschauung, welche von dem Vorhandensein von Lichtwiderständen, also materiellen Grenzen abhängt. Es sind aber abstrakte Prinzipien der Grenzsetzung denkbar, die in einem ganz neuen Sinne die Möglichkeiten optischer Begrenzung überschreiten. Für den Tieferblickenden liegt schon in der kartesischen Geometrie die Tendenz, über die drei Dimensionen des +erlebten+ Raumes als einer für die Symbolik der Zahlen nicht notwendigen Schranke hinauszugehen. Und wenn auch erst seit 1800 etwa die Vorstellung +mehrdimensionaler+ Räume -- man hätte das Wort besser durch ein neues ersetzt -- zur erweiterten Grundlage des analytischen Denkens wurde, so war doch der erste Schritt dazu in dem Augenblick getan, wo die Potenzen, eigentlicher die Logarithmen, von ihrer ursprünglichen Beziehung auf sinnlich realisierbare Flächen und Körper abgelöst und -- unter Verwendung irrationaler und komplexer Exponenten -- als Beziehungswerte von ganz allgemeiner Art in das Gebiet des Funktionalen eingeführt wurden. Wer hier überhaupt folgen kann, wird auch begreifen, daß schon mit dem Schritt von der Vorstellung a^3, als einem natürlichen Maximum, zu a^n die Unbedingtheit eines Raumes von drei Dimensionen aufgehoben ist.

Nachdem einmal das Raumelement des Punktes den immerhin noch optischen Charakter eines Koordinatenschnittes in einem anschaulich vorstellbaren System verloren hatte und als Gruppe dreier unabhängiger Zahlen definiert worden war, lag kein inneres Hindernis mehr vor, die Zahl 3 durch die allgemeine n zu ersetzen. Es tritt eine Umkehrung des Dimensionsbegriffes ein: Es bezeichnen nicht mehr Maßzahlen optische Eigenschaften eines Punktes hinsichtlich seiner Lage in einem System, sondern Dimensionen von unbeschränkter Anzahl stellen vollkommen abstrakte Eigenschaften einer Zahlengruppe dar. Diese Zahlengruppe -- von n unabhängigen geordneten Elementen -- ist das +Bild+ des Punktes; sie +heißt+ ein +Punkt+. Eine daraus logisch entwickelte Gleichung +heißt Ebene+, ist das +Bild+ einer Ebene. Der Inbegriff aller Punkte von n Dimensionen +heißt ein+ n-dimensionaler +Raum+.[32] In diesen transzendenten Raumwelten, die zu keiner wie immer gearteten Sinnlichkeit mehr in Beziehung stehen, herrschen die von der Analysis aufzufindenden Beziehungen, welche sich mit den Ergebnissen der experimentellen Physik in ständiger Übereinstimmung befinden. Diese Räumlichkeit höheren Ranges ist ein Symbol, das durchaus Eigentum des abendländischen Geistes bleibt. Nur dieser Geist hat das Gewordene und Ausgedehnte +in diese+ Formen zu bannen, das Fremde durch +diese+ Art der Aneignung -- man erinnere sich des Begriffes „tabu“ -- zu beschwören, zu zwingen, mithin zu „erkennen“ versucht und verstanden. Erst in dieser Sphäre des Zahlendenkens, die nur einem sehr kleinen Kreis von Menschen noch zugänglich ist -- aber das gilt auch von den tiefsten Momenten unserer Musik, unserer Malerei, unserer Dogmatik --, erhalten selbst Bildungen wie die Systeme der hyperkomplexen Zahlen (etwa die Quaternionen der Vektorenrechnung) und zunächst ganz unverständliche Zeichen wie ∞ⁿ den Charakter von etwas Wirklichem. Man hat eben zu begreifen, daß Wirklichkeit nicht nur sinnliche Wirklichkeit ist, daß vielmehr das Seelische seine Idee in noch ganz anderen als anschaulichen Bildungen verwirklichen kann.

Aus dieser großartigen Intuition symbolischer Raumwelten folgt die letzte und abschließende Fassung der gesamten abendländischen Mathematik, die Erweiterung und Vergeistigung der Funktionentheorie zur +Gruppentheorie+. Gruppen sind Mengen oder Inbegriffe gleichartiger mathematischer Gebilde, also z. B. die Gesamtheit aller Differentialgleichungen von einem gewissen Typus, Mengen, die dem Dedekindschen Zahlenkörper analog gebaut und geordnet sind. Es handelt sich, wie man fühlt, um Welten ganz neuer Zahlen, die für das +innere Auge+ des Eingeweihten doch nicht ganz ohne eine gewisse Sinnlichkeit sind. Es werden nun Untersuchungen gewisser Elemente dieser ungeheuer abstrakten Formsysteme notwendig, welche in bezug auf eine einzelne Gruppe von Operationen -- +von Transformationen des Systems+ -- von deren Wirkungen unabhängig bleiben, Invarianz besitzen. Die allgemeine Aufgabe dieser Mathematik erhält also (nach Klein) die Form: „Es ist eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit („Raum“) und eine Gruppe von Transformationen gegeben. Die der Mannigfaltigkeit angehörigen Gebilde sollen hinsichtlich solcher Eigenschaften untersucht werden, die durch Transformationen der Gruppe nicht geändert werden.“

Auf diesem höchsten Gipfel schließt nunmehr -- nach Erschöpfung ihrer sämtlichen inneren Möglichkeiten und nachdem sie ihre Bestimmung, +Abbild und reinster Ausdruck der Idee des faustischen Seelentums+ zu sein, erfüllt hat -- Mathematik des Abendlandes ihre Entwicklung ab, in demselben Sinne, wie es die Mathematik der antiken Kultur im 3. Jahrhundert tat. Beide Wissenschaften -- es sind die einzigen, deren organische Struktur sich heute schon historisch durchschauen läßt -- sind aus der Konzeption einer völlig neuen Zahl durch Pythagoras und Descartes entstanden, beide haben in prachtvollem Aufschwung ein Jahrhundert später ihre Reife erlangt und beide vollendeten nach einer Blüte von drei Jahrhunderten das Gebäude ihrer Ideen, in derselben Epoche, durch welche die Kultur, der sie angehören, in eine weltstädtische Zivilisation überging. Dieser tiefbedeutsame Zusammenhang wird später aufgeklärt werden. Sicher ist, daß für uns die Zeit der +großen+ Mathematiker vorüber ist. Es ist heute dieselbe Arbeit des Erhaltens, Abrundens, Verfeinerns, Auswählens, die talentvolle Kleinarbeit an Stelle der großen Schöpfungen im Gange, wie sie auch die alexandrinische Mathematik des spätem Hellenismus kennzeichnet.

Ein historisches Schema wird dies deutlicher machen:

+Antike+ +Abendland+

1. +Konzeption einer neuen Zahl.+

um 540 um 1630 Die Zahl der Größe Die Zahl als Beziehung Die Pythagoräer Descartes, Fermat, Pascal; (Um 470 Sieg der Plastik Newton, Leibniz (1670) über die Freskomalerei) (Um 1670 Sieg der Musik über die Ölmalerei)

2. +Höhepunkt der systematischen Entwicklung.+

450-350 1750-1800 Archytas, Plato, Eudoxos Euler, Lagrange, Laplace (Phidias, Praxiteles) (Haydn, Mozart)

3. +Innerer Abschluß der Zahlenwelt.+

300-250 nach 1800 Euklid, Apollonios, Archimedes Gauß, Cauchy, Riemann (Lysippos, Leochares) (Beethoven)

Fußnoten:

[Footnote 25: Von der periodischen Unterbrechung durch den Schlaf soll hier abgesehen werden.]

[Footnote 26: Siehe die vorangehenden Tafeln 1-3.]

[Footnote 27: Alexandria hört im 2. Jahrhundert n. Chr. auf, Weltstadt zu sein und wird eine aus der Zeit antiker Zivilisation stehen gebliebene Häusermasse, in der eine primitiv fühlende, seelisch anders geartete Bevölkerung haust. Das hier vorliegende Phänomen wird später behandelt werden.]

[Footnote 28: Vom „Namenzauber“ der Wilden bis zur modernsten Wissenschaft, welche sich ihre Objekte +unterwirft+, indem sie Namen, Begriffe und Definitionen für sie prägt, hat sich der Form nach nichts geändert.]

[Footnote 29: In der modernen Astronomie wird die Verwendung nicht euklidischer Geometrien ernstlich erwogen. Die Annahme eines unbegrenzten, aber endlichen, gekrümmten Raumes, den das Sternensystem mit einem Durchmesser von etwa 470 Millionen Erdabständen füllt, würde zur Annahme eines Gegenbildes der Sonne führen, das uns als Stern mittlerer Helligkeit erscheint.]

[Footnote 30: Daß durch einen Punkt zu einer Geraden nur eine Parallele möglich sei, ein Satz, der sich nicht beweisen läßt.]

[Footnote 31: „Funktion, recht begriffen, ist das Dasein in Tätigkeit gedacht“ (Goethe).]

[Footnote 32: Vom Standpunkt der Mengenlehre aus heißt eine wohlgeordnete Punktmenge, ohne Rücksicht auf die Dimensionenzahl, ein Körper, eine Menge von n - 1 Dimensionen also im Verhältnis dazu eine Fläche. Die „Begrenzung“ (Wand, Kante) einer Punktmenge stellt eine Punktmenge von geringerer Mächtigkeit dar.]