Part 7

Farkas nem volt a praktikus élet embere; anyagi gondok jelentkeztek nemsokára. 1804-ben meghívták a marosvásárhelyi kollégiumba a mathematika, fizika és chémia tanszékére. El is fogadta, s 47 évig maradt ez állásában, 1851-ben történt nyugalomba vonulásáig. Lelkesedéssel fogott tanári föladatához. Kathedra állott rendelkezésére, ahonnan kiönthette eszméit, gondolatait. A társaságokban szikrázó szellemmel csevegő Bolyaiból itt orator lett. Tudományos munkáin is dolgozott, de folytonos nehézségekkel. Nem jutott könyvekhez. Gausstól folyton jó mathematikai és csillagászati könyvek címeit kéri. Anyagilag folyton zavarokkal küzdött. Páratlan jó szíve van. Senkit sem bocsát el magától segítség nélkül. A városból nem tudja birtokának gondját viselni, jövedelmét élelmes jobbágyai harácsolják el. Sok pénzt emészt föl bizonyos kemencerakó, s más hasonló szenvedélye is. János születésekor hosszabb ideig Kolozsvárt tartózkodnak és itt kezdődik a házastársak között az elhidegülés, aminek oka Bolyai anyósa volt, aki kezdettől fogva ellenszenvvel viseltetett Bolyai iránt. A jó viszony – reménye ellenére – Marosvásárhelyen sem állt vissza köztük. Hiába írja Gauss – aki ekkor élte boldog szerelmének és házaséletének első perceit, – hogy béküljön ki feleségével, az egyszer létrejött szakadást nem lehetett helyre hozni. Bedőházy szerint a közös boldogtalanság oka Bolyai részéről talán az volt, hogy a külső kellemetlenségek okozta keserüségeket otthon öntötte ki; a Bolyainé részéről pedig az, hogy nem rendelkezett a Bolyaiéhoz illő intelligenciával. Nem tudott fölemelkedni az ideális feleség és háziasszony magaslatára; ha férje rosszkedvű, megvidámítani, ha jókedvű, még táplálni azt és vele mulatni, ha tudományos dologról van szó, férjének őszinte bámulója lenni. Nem tudta kezébe venni a ház gazdasági ügyeinek vezetését. Ha ezt eléri, Bolyai semmiesetre sem lett volna boldogtalan és tudományos munkásságára is jótékony hatással lett volna. Még ha megfelelő tudós környezetben élt volna Bolyai, talán megfeledkezett volna a bajokról, – mint annak, idején Göttingenben – de itt is inkább apró személyi surlódásoknak van kitéve. Ezért küldi meg Gaussnak a „Theoria parallelarum“ címü értekezését, amelyben, mint írja Gaussnak: „Én nem tudom a hibát fölfedezni.“ Nem bízik a kétezer éves problema megoldásában, „de ha érdemesnek tartod, küldd be egy megfelelő Akadémiának“, írja tovább. Itthon nincs, kinek adja, nincs az ilyen iránt érzékük az embereknek, s „különben is meg van verve az itteni féltudósoktól“ és nem is adná ki még, „ha nem volna kényszerítve egy kis külső dicsőséget hazardirozni“. S e pár sorban benne van a Bolyai sorsának egész tragédiája. Nem is az ő, hanem a mi tragédiánk. A sziklán a legjobb mag sem kel ki; a zseninek is környezet kell, hogy alkothasson. Igy aki hivatva volt építőmesternek lenni, lett egyszerü napszámos; de hős, vágta a sziklát kitartással, hűen mindhalálig. Már ekkor tervezi az arithmetika és geometria alapjairól szóló munkáját, de azokkal csak később készülhet el a Tentamenben.

Eközben szépen fejlődik az ifju János, akiben már játékai közben kezd megnyilatkozni geometriai tehetsége. Atyja óvatosan neveli; 9 éves koráig csak játékra tanítja. Elve az, hogy a gyerek erősödjék. A kilenc éves Jánost a kollégiumba adja, amikor aztán gyors előmenetelt tesz atyja vezetése alatt a mathematikában és zenében. Az öreg Bolyai is hegedült, de későn fogván hozzá, virtuózitásig nem vihette, azonban elméletileg kitünő zeneértő volt. János már 13–14 éves korában kész virtuóz. Első látásra hibátlanúl játssza a legnehezebb darabokat. Legszebb haladást tett a mathesisben. Mint serdülő ifju, járatos már a differenciális és integrális számitásokban és ami legfontosabb, teljes érdeklődéssel fordul a parallelák elmélete felé. Atyjának legragyogóbb álmai csoportosulnak a serdülő fiú körűl. Tervezi, hogy Gausshoz küldi; mily kár, hogy nem sikerült.

Ilyen körülmények között élt az öreg Bolyai, nyomasztó gondokkal, de szép reményekkel is. Teremtésre hívatott lelke szeretne egyet-mást beváltani az ifjukori álmokból. Költői kisérleteket tesz. Drámákat ír és hogy tehetsége felől meggyőződjék, az Erdélyi Múzeum drámapályázatára küldi három darabját. A döntés soká húzódott, nyugtalan lelke nem tudja megvárni azt és névtelenűl kiadta még két más drámájával őket. Nem a hiuság sarkalta itt, hisz névtelenül jelentek meg drámái; nem is a haszonlesés, hisz ő nagyon is ráfizet a kiadásra és a jövedelemből alapítványt tesz a város szegényei számára: hanem tisztán az alkotás után való vágy és az, hogy meggyőződjék képességeiről. Neki drámái megírásában telt gyönyörüsége. Ott teljesen kiönthette nagy szívét és fantáziája a legragyogóbb képekben nyilatkozott meg személyei nyelvén. Bolyai az egész világon a „virtus“ küzdelmét látja; ebből a szempontból itélte meg az emberi cselekedeteket. Nála az emberi érzelmek, indulatok csak akkor értékesek, akkor használhatók drámában, ha indító okuk a „virtus“, ha azok valamire tanítják az embereket. Ezért minduntalan előtör alakjai szavaiból az „auctor“, a maga emberbaráti mivoltában. Brassai szerint: „Olvasói egyaránt szerették és bámulták és most érettebb ésszel ki kell mondanom, hogy itéletökkel sokkal közelebb jártak az igazsághoz, sem mint akkori pályabírái is és az újabb kor kritikusai. Szerintem a földolgozott tárgyak „tragikuma“ ellen Beöthy Zsolt is aligha tehetne kifogást; a jellemek eléggé kidomborodók és következetesek, a bonyodalom érdekfeszítő és a katasztrófa természetes. Egyetlen egy kétségtelen hibája a tragédiáknak a metaphorák túlhalmozása, miszerint majd minden szereplő és minden helyzetben erősen virágos nyelven beszél.“[6] Bírálói is elismerik gondolatainak nagyságát és kiemelik, hogy „egyedül a gondolatok nagyságára nézve nem ismernek jobb munkát drámai litteraturánkban“.[7]

Fia ezidőben végezte a marosvásárhelyi kollegiumot és atyja Gausshoz szerette volna küldeni. Kár, hogy ő ezt csak úgy akarta, hogy János Gaussnál is lakjék. Gauss ekkori családi viszonyai ezt nem engedték meg és ezért válaszolatlanul maradt a Bolyai levele. Így a terv, Jánost külföldi egyetemre küldeni, veszendőbe ment. Nem maradt más hátra, mint a katonai mérnöki intézetbe küldeni Bécsbe, ahova ekkor minden mathematikát kedvelő elme törekedett, mint az érvényesülésnek ekkor egyedüli terére. A János anyjának ekkor már kezdett kifejlődni idegbaja. Mikor János elmegy, azt mondja: „Itthon ne maradjon, de ha elmegy, megőrülök.“ A rettentő jóslat bekövetkezett. Négy évig ápolta Farkas a feleségét, akinek közben alig voltak világos pillanatai. Négy évig virrasztott az öreg Bolyai a gyakran éneklő, magát prófétának stb. képzelő nő betegágya mellett. Jegyezgette a csodálatos mondásokat, amelyekből kivillant olykor ama lélek roncsainak egy-egy darabja, amely az ifju Farkast elbűvölte. Négy évig vitte a keresztet Bolyai Farkas és nem esett el alatta, nem is zúgolódott miatta; tűrte oly krisztusi szelídséggel, amely csak egy Bolyaitól telhetett ki. Az ő filozófus lelke most mutatta meg a nagyságát. Hisz azt a néhány boldog órát eléggé megfizette tíz év boldogtalanságával; de ő azért most, amikor éj borult arra az elmére, nem lát benne mást, csak az ő ifjukori, szerencsétlenné lett Zsuzsikáját. Végre a szenvedő asszony boldogult. Az utolsó percekben tébolya – mint egy rossz álom – eltünik, kéz a kézben kibékülnek, s Bolyainé „Ne sírj! higyj nekem, nemsokára boldogabbul találkozunk“ szavakkal vigasztalja férjét, aki „akkor esett el a kereszt alatt, amidőn levétetett róla“. Az elválás megrázó pillanatai soká ott lebegnek az élő előtt. „Bár csak egy nap szenvedhetnék még tőle! Bár csak egy órát adna a fösvény, gazdag örökkévalóság, melyen megmondhatnám neki, hogy vagyok, s adhatnám neki még egyszer azt a jobb kezet, mely szíveinket az örökkévalóság szélén egybefoglalta.“ Ezek a legőszintébb szavak, hisz a saját fájdalmát adta a papirosnak Bolyai, amikor ő már tovább nem birta.

Négy év múlva újra megnősült. Nőül vette Nagy Theresiát, egy marosvásárhelyi vaskereskedő leányát. Egy fia született ettől a nejétől, Gergely, aki azonban már nem rendelkezett semmi kiváló lelkitulajdonokkal, azon kívül, hogy apjának szerető, jó fia volt. Nyolc évi házasság után újra özvegy maradt és ezután egyéb bajai között ez az egy nyugodalma volt, hogy felesége nem volt, mint írja önéletrajzában.

Ezalatt János a katonai iskolában szépen fejlődött. Tisztjei szerették és dicsérték kiváló képességeit. Kezdi bontogatni szárnyait az a szellem, amely örökké világító csillagként az égre hatolt. A két Bolyai sűrü levelezésben áll egymással. Tartalmat a „közös mathesisi szenvedelem“ – mint hajdan Gaussal – ad a leveleknek, harmónikus hangot pedig az apai és fiui viszony, amely az anya halála után még szorosabbá vált. Részint a költői kisérletek csekély sikere, részint János munkássága Farkast is visszatérítették első szerelméhez. Kezdi rendszerezni azokat az eszméket, amelyek még Göttingenben fogamzottak meg agyában; hozzá kezd nagy munkája, a „Tentamen“ kidolgozásához. És csodálatos; az az elme, amely annyifelé fogott és mindent szenvedéllyel végzett, a mathesis terén a lehető legmélyebbre néz és onnan építi föl a lehető legnagyob rendszerességgel az egész mennyiségtant. Az említett „Theoria parallelárumban“ – amelyről később lesz még szó – éppen a legősibb rejtélyt törekszik bontogatni. Az ő, alapjában filozófus lelke a mathematika alapjaiban találta meg azt az anyagot, amely egyaránt kielégíti a filozófust és mathematikust is.

Mondhatjuk, hogy Bolyai kezében a geometria szinte természettudomány. Gauss és más nagyoknak is az volt a nézete, – ellentétben Kant fölfogásával, – hogy a tér nemcsak a szemlélődés formája, hanem önmagában létező. Bolyai a szemléletből indul ki. A testekből elvonás útján jutunk az _ür_ fogalmára. Ebből származtatja ő a mozgás segítségével – ellentétben Euklidésszel – a többi geometriai képződményeket. Először a mozgással adja a kongruencia fogalmát, amelyet Euklidész is így tárgyal, mivel éppen arról van szó, hogy két különváltan lévő test ugyanegy helyre víve, ha pontról-pontra megegyeznek, akkor kongruenseknek mondjuk őket. Gondoljunk egy mozgó térrészt. Más és más képződményeket nyerünk aszerint, amint más mozgókat (mobile) gondolunk és amint ennek mozgását más és más föltételeknek vetjük alá. Bolyainak e tárgyalásai le voltak rakva – szinte mondhatnók, el voltak rejtve – a Tentamenben. Nálunk nem volt, aki méltányolhatta és a külföld figyelmét fölhívhatta volna rá. Külföldön alig volt egypár példány belőle. Azonban később Riemann és Helmholtz hasonló geometriai alapozásai teljes elégtételt szolgáltattak Bolyainak.

A Tentamen másik része az arithmetikával foglalkozik, kezdve a szám fogalmától, föl a legfelsőbb regiókig. Kiindul a szám fogalmából, amely lelkünk produktuma. Aztán jön a mennyiség fogalma és a mérés munkája, amely utóbbi vezet az egység vagy _főmérték_ fogalmára. Amíg a geometriában összes fogalmainkat térbelileg tudjuk elképzelni, az arithmetika oly mennyiségekkel foglalkozik, amelyeknek tulajdonságai egyeznek az idővel, mint mennyiséggel. Ő az arithmetikát ezért idői mennyiségtannak – vagy az ő speciális szavával – _id tannak_ nevezi. Szigoruan különbséget tesz az abszolutus egyenlőség és a relativus – szerinte „tekinteti“ – egyenlőség; a nagyobbság és többség között. Ezek jelölésére maga szerkesztette jeleket vezet be, vagy a már használatban levőket saját céljai szerint módosítja. Kiválóan szép az a mód, amellyel a positivus és negativus számok fogalmát vezeti be. A mennyiség fogalmához bizonyos milyenséget (milyzet) csatol, amely attól függ, hogy milyen meghatározással lép be a mennyiség műveleteink körébe. Így az egy milyzetüek egymást növelik, az ellentétesek egymást kisebbítik. A kétféle egységek összege zérus. Azután adja az alapműveletek értelmezését; mindenütt a szigoru értelmet tartván szem előtt, nem a formalizmust. Annyira törekedik kerülni a képzeletbeli és ezért gyakran tévedésekre vezető dolgokat, hogy a differenciális kalkulusban ki akarja küszöbölni a végtelen kicsinyek fogalmát, mint nem élesen definiált dolgokat. Így mutatja ki rendkívül sajátságos módon az első differenciális hányados létezését véges differenciákra. A magasabb deriváltakra azonban módszere nem alkalmazható.

Bolyai célja a Tentamennel az volt, hogy a tanulni vágyó ifjaknak oly „compendiumot“ adjon, amelyben az axiómák előre ki vannak téve; a képzetek a legegyszerűbbekből fejlesztetnek ki; a tárgyalás egyszerü, rövid és kézzelfogható; az alkotvány a legalsóbb fundamentumokból láthatólag emelkedjék föl, míg az ég tűzkoszorui között a feneketlenbe elmerül.[8] Műve tankönyvül is szolgált, de leszámítva kevés tehetségeseket, nem igen értették meg. A közvélemény szinte ellene volt, anélkül, hogy olvasták volna. A kevés méltánylás rosszul esett szerzőjének, habár ez abban a korban nem lehetett máskép. A mathematikusok új dolgot nem igen találtak benne, a tanúlni kezdő ifjak nehezen barátkozván meg vele, nem volt, aki méltányolja.

Ma volna itt az ideje, – fejlett tankönyvirodalmunkban, – hogy mathematikus tankönyvíróink addig ne kezdjenek munkához, míg a Tentament meg nem emésztették. Középiskolai tanárainknak pedig mindennapi olvasmányul kellene használniok. Ez volna az a mező, amelyen a Bolyai elvetette mag szép termést hozna, mert valljuk meg, hogy a mai középiskolai mathematikai tanításunk alig emelkedik fölül az üres formalizmuson. Ezért van az örökös panasz a mathesis ellen; ezért ez a frázis, hogy a „száraz mathematika“. Tény az, hogy a sok formai számitásnak nem vesszük hasznát az életben, de hasznát vennők az azokon megszokott mély és szigoru gondolkodásnak és annak a tudományos látószögnek, amelyet már ily korán megszereznénk. Ez volna a középiskola célja és ennek megközelítésében nem kis hasznára volnának azok a tanárok, akik Bolyait értik; de betartják azt a tanácsát is, hogy „az okos nevelő a természet fejlődését szemérmes tisztelettel kisérje“.

A Tentamen megjelenése igen nehézkesen ment. Az előfizetők lassan jelentkeztek, s mivel anyagi zavarai miatt saját költségén nem nyomatta ki, nagy munkájának rövid foglalatját adta az „Arithmetica eleje“ címü kis munkájában magyarul. A költség összegyült végre – Bögözi Jakab Lajos 500 Rhftot ad, fia 104-et és három évi vajudás után, 1832-ben megjelent a nagy mű első kötete, 1834-ben a második kötete. Az első kötethez függelékül csatolja fia munkáját az abszolutus geometriáról. Ez az „Appendix“ az tulajdonképpen, ami a tudós világ figyelmét a Bolyaiak felé fordította.

A Tentamen megjelenése után Bolyai nem szünt meg dolgozni. Szeretné a Tentament magyarul is kiadni, de nincsen rá költsége. Dicsőséget nem aratott az eddigivel is; nem is a dicsvágy ösztönözte, hisz névtelenül adta ki munkáit, csupán használni kivánt hazájának; de amidőn 1835-ben az Akadémiában Nagy Károly Arithmetikáját 200 arannyal jutalmazták, mégis elkeseredett, mert, amint írja: annak nincs más érdeme, mint hogy Bécsben nyomtatták szép betükkel; pedig egy lapnyi, amelyen valami tisztába van hozva, többet ér foliántoknál. Itt csak az a mentsége van az Akadémiának, hogy az alapszabályok szerint csak magyar nyelvü munka kaphatta a 200 aranyat.[9] Azonban érthetetlen az, hogy bár Bolyai kész lett volna munkáját magyarul az Akadémia rendelkezésére bocsátani, még feleletre sem méltatták. Így 1843-ban saját költségén adta ki az Arithmetika elejét átdolgozva. Az Akadémia mindamellett törekedett méltányolni őt és – főképp személyes ismerősei révén – tagjai sorába választotta. Ő tovább dolgozott, tervezett. 1853-ban a Tentamen rövid kivonatát kiadja németül „Kurzer Grundriss…“ cím alatt.

Ezen kisebb munkái főképpen tankönyveknek voltak szánva, de ezekben is, mint a kathedrán, nem találta el a helyes mértéket. Tanár volt ő szívvel, lélekkel, de nem arra szánva, hogy tömeget tanítson, hanem inkább arra, hogy zseniket neveljen. Bármilyen szépen is megírta nevelési elveit, azokat csak egy esetben valósította meg, fián, Jánoson. Az iskolában már nem sikerült ez neki, pedig ő ott is törekedett eszerint járni el, sőt talán nagyon is eszerint járt el. A tizenhárom-tizennégy éves János már járatos a felső mathesisben és ő az iskolában is azt hitte, hogy mind csupa zseninek magyaráz. Ezért volt, hogy leszámítva egyeseket, általában nem értették meg tanítványai, mint azt többen följegyezték. Igaz, hogy tanítványai nagyobbrészt a már serdült ifjakból kerültek ki, akiknél éppen elvei szerint, már a tudományok legmélyebbb titkai is kitárhatók. Ő ezeknél már nem is „szemérmes“ tisztelettel fordúlt a természethez, hanem szinte tobzódott a gondolatokban. A magyarázat közben az ő mindig új gondolatokat termő szelleme elérhetetlen régiókba szárnyalt. Ilyenkor talán elfeledte azt is, hogy hol van, csak a fényes gondolatok lebegtek előtte gomolygó halmazban. Mindent filozófiai oldaláról fogott föl és épp ezért nem értették mathematikai előadásait, mert ennek a filozófiája kivánja a legélesebb látást. Arra, hogy a tudományt népszerűsítse, hogy az előtte tömören jelentkező gondolatokat részeikre szedve közölje hallgatóival, nem gondolt, ezt nem látta szükségesnek. Gyakran eltér a tárgytól és áttér a tudományok és filozófia mezejére, tanítványai meghatva ülnek előtte, elbűvölten attól a lelkesedéstől, attól a határtalan imádattól, amellyel az előttük beszélő ember felöleli az egész szellemi világot; gondolkodóba ejtve attól, hogy ennek az embernek arca pirban, szeme tűzben ég azon dolgok említésekor, amelyeket a köznyelven hideg és száraz szavakkal jellemeznek. Hogy tanítványai sok dolgot nem értettek meg, szinte mellékes azon nyereség mellett, amit Bolyaitól kaptak. Hisz melyik mathematika tanárunk állíthatja ma is, hogy tanítványainak legalább a fele érti őt, pláne a felsőbb osztályokban. De a Bolyai tanítványai között nem volt egy sem, akit meg ne hatott volna a lelkesedés tüze, aki ne esett volna gondolkodóba, hogy mégsem lehetnek közönséges dolgok azok, amikért így lehet lelkesedni. Ha talán kevés mathematikát tanultak is tőle tanítványai, de megtanulták mégis azt becsülni, megtanulták a tudományokat értékeseknek tartani. Az apróbb szabályokat elfelejtjük, de a fiatal lelkünkbe égetett lelkesedés és nem közönséges értékelés egész életünkre vezetőnk lesz.

A Tentamen készülésének idejére esik a János munkássága is. János 1822-ben végezte a bécsi akadémiát és innen a tényleges szolgálatba lépett. Már az akadémián foglalkozott a parallelák elméletével és 1823-ban Temesvárról – mint alhadnagy – a következőket írja atyjának: „’A pillanatban nints kitalálva, de az út, melyen mentem, bizonyosan igérte a tzél elérését, ha az egyébaránt lehetséges; nints meg, de ollyan felséges dolgokat hoztam ki, hogy magam elbámultam…“ Két év múlva ellátogat Marosvásárhelyre, ahol már kész rendszerét közli atyjával. Itt megbeszélik a közlés módozatait is és Farkas nagyon sürgeti a minél előbb való nyilvánosságra hozatalt, mert könnyen megelőzheti valaki más. A János munkájának a közlése mégis késik és a Tentamen első kötetének Appendixeként (függelék) jelenik meg 1832-ben. Farkas ezt a kötetet megküldte Gaussnak és birálatot kért. Mint írja: János többet ád a Gauss itéletére, mint az egész világéra. A válasz késett – Gauss nem kapta meg a küldött példányt – amire Farkas az Appendix külön lenyomatát újra megküldte Gaussnak. Gauss örömmel és meglepetéssel olvassa át a kis füzetet és rögtön válaszol. Szokott egyszerűségével és őszinteségével megírja, hogy a tárgyalások egyeznek az ő gondolataival, amelyeket ebben az irányban tett és nagyon örül, hogy régi jó barátjának a fia az, aki őt megelőzte. Jánost elsőrangu zseninek nyivánítja és mindjárt fölhívja a figyelmét bizonyos problémákra.

Gauss levele Jánosnál nagy elkeseredést szült. A talán mathematikai őszinteségű és igazságú levél nem elégítette ki a mathematikus szívét és becsvágyát. János érezte alkotása nagyszerűségét és ha az a fiatal lélek vágyott egy elismerő szó után azon ember ajkáról, akit legtöbbre becsült a világon, azért nem itélhetjük el. Hisz hosszu évek fárasztó, lázas munkájának honorálásáról volt szó és egy meleg, elismerő szó, csak egy kézfogás – ha gondolatban is – volt a várt díj. Nem sok – még egy Gausstól is – azért a munkáért, amelyet az utókor – és abban egy-egy gaussi lángész is – örök bámulattal és halhatatlansággal jutalmazott. Megértjük, hogy János féltékeny lesz és félti a prioritását. Megértjük, hogy elkeseredik éppen Gauss ellen, aki nem szorult rá, ha még olyan szép gyöngyökért is, ilyen módon fáradni. Bár Gauss később nyilvánosságra került levelei igazolják, hogy Gaussnak már voltak ilyenféle gondolatai, hogy volt sejtelme a készülő „új világról“, de mégis csak Bolyai János teremtette azt meg. Ha mathematikailag gondolkozva tán igazat adunk is Gaussnak, de szívünk legtitkosabb redőiben mégis ott él a gyanu, hogy az önzés beszél Gaussból. Bármennyire is igaza volt, szívtelenség volt tőle így felelni, pláne az ő régi barátjának. Gauss nem nyert vele semmit, de összetörte János becsvágyát és odadobta az Éris almáját az apa és fiu közé, mert János haláláig nem békült ki a gyanúval, hogy atyja elárulta eszméit Gaussnak és egyfelől ez volt oka az apa és fiú között később beállott viszályoknak. Az abszolutus geometria históriájához tartozik a másik nagy fölfedezőnek – Lobacsefszkij-nek – a neve is, aki alapjában szintén rájött a dologra, munkálatát közölte is az Appendix megjelente előtt orosz nyelven, de ez a tudós világ előtt ismeretlen maradt, s csak öt évvel az Appendix után jelent meg közérthető nyelven.

Lássuk már most, hogy mi körül forog itten a kérdés és miben áll a fölfedezés nagysága. A fölfedezés egy kétezeréves probléma megoldása. Euklidész V., némelyek szerint XI. axiómája a következő:

„Legyen egy síkban két egyenesünk és messük ezeket egy harmadik egyenessel. A két egyenes határtalanul kinyújtva, azon az oldalon metszi egymást, amely oldalon a belső szögek összege kisebb két derékszögnél.“

Ezt Euklidész posztulátumként állítja oda, mint olyat, amelyet a priori evidensnek látunk, sőt szükségképeninek. Ezen az axiómán ő fölépítette geometriáját, amelyet mindnyájan ismerünk, amely a tapasztalattal soha ellenkezésbe nem jött. Ha a priori nem is tartanók igaznak az V. posztulátumot, a poszteriori még sem kételkedhetnénk annak helyességében. Kevés ember van azonban, aki már a priori ne tartaná szükségképpen igaznak Euklidésznek ezt a követelményét. Ugyanis bármeddig hosszabbítsuk meg a két egyenest, a tapasztalat határán belül azok mindig a tételnek megfelelően viselkednek. Már most, ha a végesből a végtelenre vonunk következtetést, a tétel helyes. De éppen ez a pont az, amely mélyen gondolkodó mathematikusoknak már igen régen (Ptolemaiosz volt az első) föltünt és ezért az V. posztulátumot a bizonyítandó tételek sorába helyezték. A végesről a végtelenre következtetést vonni nem szabad és így a szemlélet révén a V. euklidészi posztulátum helyes vagy helytelen voltáról meggyőződni nem lehet.[10]

A mathematikusok előtt tehát ez állott: van egy tételünk, amelynek összes következményei helyesek, de a tétel – mint axióma – a priori nem látható be, bizonyítva pedig még nincsen. 2000 éven át a kérdéssel foglalkozó mathematikusoknak a törekvése ezt a hiányzó bizonyítást megadni. Megpróbálták a legkülönbözőbb útakat. Új posztulátumokkal törekedtek a régit helyettesíteni: sokan hitték, hogy elérték céljukat, de mindenikről kiderült, hogy valamiben hibáztak. Kästner, Bolyai és Gauss egykori tanára, mintegy hétezer művet gyüjtött össze, amelyek a szóban levő kérdéssel foglalkoznak. Mint minden bizonyításnál, kétféle útja volt az eljárásnak: direkte bizonyítani a tételt, vagy kimutatni az ellenkező lehetetlenségét. Ez utóbbi útat követi Farkas a Theoria Parallelarumban. Fölvesz egy egyenest és erre egy merőleges vonaldarabot állít. Ettől egyenlő távolban jobbra és balra szintén egyenlő merőlegeseket. Már most – föltéve, hogy nem igaz az V. axióma – ezeknek a merőlegeseknek végpontjai egy sokszöget határoznak meg; ha pedig a merőlegeseket egész sűrön rakjuk, akkor a végpontok összeköttetése görbe vonal lesz, amelyről Bolyai F. bizonyítja, hogy ez csak önmagába visszatérő görbe lehet. Ebből pedig az következnék, hogy egy egyenesre két pontjában állított merőlegesek egy pontban találkoznak. Ez pedig ellentétben van azzal a tétellel, hogy egy egyenesre egy pontból csak egy merőlegest lehet vonni. Bolyai ezt bizonyítja, de bizonyításában – mint Gauss egy levelében megmutatta – hibát követ el, amikor fölteszi, hogy a keletkező sokszög egyenlő szögü, vagy a keletkező görbe kör, ami nem szükségképeni. Farkast ez nem kedvetlenítette el, mert maga is kételkedett benne, hogy kihozta volna a dolgot, habár a tétel bizonyíthatóságáról teljesen meg volt győződve. Hasonló módon szenvedtek hajótörést mindazok a mathematikusok – köztük Legendre, Lagrange – akik az V. posztulátumot bizonyítani törekedtek. Mindamellett a sok fáradságnak igen nagy haszna volt a geometriai alapfogalmak – egyenes, görbe stb. – tisztázására.

Bolyai János volt az első, aki – miután a bizonyítás neki sem sikerült – arra az álláspontra helyezkedett, hogy a parallelák tételétől függetlenül építse föl a geometriát. Eljárásának egyik része a Farkastól kontsruált egyenlő távolu vonal vizsgálata. Csakhogy amíg Farkas ezt a vonalat segédeszköznek használja, János magát ezt a vonalat vizsgálja. És ez új álláspont 1823-ban még nincs kész, de már látja az „új másvilágot“. Ez a gondolat, amely most olyan egyszerűnek látszik, páratlan mély látásra vall. János emancipálni tudta magát az egész euklidészi geometria parancsoló hatása alól és fölemelkedett arra a magaslatra, amelyet így jellemezhetünk, mint az ő álláspontját: A geometria oly tudomány, amelyet teljesen absztrakt fogalmakból mi magunk, függetlenül a külvilágtól, alkotunk meg. A geometria ilyen megalkotásakor egyetlen vezető eszménk az, hogy alkotmányunk a térbeli szemlélettel összhangzásban legyen és így amellett, hogy igen általános összefüggéseket ad az alapul vett fogalmak között, egyszersmind alkalmas a tér geometriai tüneményeinek leírására. Ennélfogva nem szabad a szemléletből vett tételeket általánosítani és így az euklidészi tételre egyebet nem mondhatunk, mint azt, hogy az áll a tapasztalás határain belül. Mindenesetre van egy határ, amelyen túl a két szög összege kisebb két deréknél, de mi még nem tudjuk az összehajlást kimutatni. Ezt a határt gyakorlatilag nem állapíthatjuk meg.